Метод ценообразования на основе статистических игр

Цель работы: определить оптимальный размер снижения цены, при котором потери торгового предприятия будут минимальными.

Торговое предприятие имеет 500 нереализованных летних костюмов (Vпр), средняя цена (Цп) которых 200 у.е., а затраты (Цз) на их приобретение у производителя составили 120 у.е. за единицу товара. Мода на такой товар быстро меняется. Предприятие решает снизить цены, чтобы вызвать дополнительный спрос. Однако решение о размере снижения цен при сезонной распродаже товаров должно привести к минимальным потерям торгового предприятия.

Рассматриваются четыре варианта возможного снижения цены – на 20, 20, 40 и 50%. При этом нужно учитывать реакцию покупателей на сезонное снижение цен, которая измеряется эластичностью спроса от цены:

Эц = ( К/К) / (Ц/Ц) (1)

где К – спрос на товар; Ц – заданная цена; Ц – абсолютное изменение цены; К – прирост спроса при снижении цены на Ц.

В рассматриваемой задаче статистической игры в качестве статистика выступает торговое предприятие (оно принимает решение), в качестве природы - эластичность спроса (изменение ситуации на рынке). Предприятие может выявить характер спроса на основе результатов экспресс-опроса, анкетирования, полученной ранее информации, по наблюдениям, расчетам. В качестве показателей, характеризующих стратегию природы, выступает распределение вероятностей, с которыми природа применяет малую или высокую эластичность спроса.

Для составления структуры статистической игры введем следующие обозначения:

Y – множество различных состояний природы

Y = Y_1, Y₂

Y₁ – малоэластичный спрос

Y₂ - высокоэластичный спрос

А – множество возможных решений торгового предприятия

А = а₁ , а₂ , а₃ , а₄

а₁ – снижение цены на 20%

а₂ - снижение цены на 30%

а₃ - снижение цены на 40%

а₄ - снижение цены на 50%

L (Y, A) – функция потерь торгового предприятия (матрица 2*4)

Исходные данные: Vпр = 500 ед.

Цз = 120 у.е.

Цп = 200 ед.

Коэффициенты эластичности при малой эластичности спроса от цены:

э₁¹= 1,0 э₂¹ = 1,0 э₃¹ = 1,1 э₄¹ = 1,0

Коэффициенты эластичности при высокой эластичности спроса от цены:

э₁² = 1,5 э₂² = 2,33 э₃² = 2,0 э₄² = 1,8

i – количество решений (i = 1,4)

j – количество состояний природы (j = 1,2)

Предполагаемый объем продажи костюмов определяется по формуле:

К = Эц * Vпр * (Ц/Ц) (2)

Поскольку Ц/Ц = а, то есть проценту снижения цены, то предполагаемый объем продаж в зависимости от коэффициента эластичности будет определяться как:

К_i ^j = a _i * Vnp * Э _i ^j (3)

При состоянии природы Y₁ и Y₂ значения функции потерь для решений а₁ , а₂ , а₃ и а₄ вычисляются как разность между закупочной ценой нереализованных 500 костюмов и выручкой от предполагаемого объема продаж после снижения цены (табл. 1).

Таблица 1

Состояние природы Y₁

Реше-ние стати- стика	Сниже ние цены, %	Новая цена, Цн, у.е.	Предполагаемый объем продаж в результате снижения цены, K , ед.	Предполагаемый объем продаж в результате снижения цены, у.е. (гр.3 * гр.4)	Закупоч-ная цена товара, У.е.	Потери, у.е. (гр. 6 – гр. 5)
1	2	3	4	5	6	7
а1	20	160	100	16000	60000	44000
а2	30	140	150	21000	60000	39000
а3	40	120	220	26400	60000	33600
а4	50	100	250	25000	60000	35000

Цн = (Цпр * (100 – а _i ) )/100 (4)

Аналогично рассчитывается значение функции потерь при состоянии природы Y₂ (табл. 2).

Таблица 2

Состояние природы Y₂

Реше-ние стати- стика	Сниже ние цены, %	Новая цена, Цн, у.е.	Предполагаемый объем продаж в результате снижения цены, K , ед.	Предполагаемый объем продаж в результате снижения цены, у.е. (гр.3 * гр.4)	Закупоч-ная цена товара, у.е.	Потери, у.е. (гр. 6 – гр. 5)
1	2	3	4	5	6	7
а1	20	160	150	24000	60000	36000
а2	30	140	350	49000	60000	11000
а3	40	120	400	48400	60000	12600
а4	50	100	450	45000	60000	15000

Занесем значения функции потер L(Y, A) в матрицу (табл. 3).

Таблица 3

Матрица значений функции потерь L(Y, A), тыс. у.е.

A / Y	а1	а2	а3	а4
Y1	44	39	33,6	35
Y2	36	11	12	15

Анализируя матрицу функции потерь, можно заметить, что решения а₁ и а₄ доминируются (перекрываются) решением а₃ , т.к. суммарные потери по нему существенно ниже. По правилам статистических игр решения а₁ и а₄ отбрасываются (табл.4).

Таблица 4

Редуцированная матрица значений функции потерь, тыс.у.е.

A / Y	a2	a3
Y1	39	33,6
Y2	11	12

Перед принятием одного из возможных решений (а₂ или а₃ ) торговое предприятие проводит анкетный опрос покупателей. Цель опроса – оценка реакции покупателей на предполагаемое снижение цен, т.е. выяснение реального спроса на костюмы:

x₁ – реальный малоэластичный

x₂ - реальный высокоэластичный.

Это и есть дополнительная статистическая информация о состоянии природы.

В результате исходная стратегическая игра с представленной выше функцией потерь преобразуется в статистическую игру

(Y, D, R) (5)

где D – множество всех стратегий статистика; R – функция риска как математической ожидание функции потерь при некотором состоянии природы и заданной функции условного распределения случайной переменной (вероятности покупки).

D = совокупность функций решения d (Х), где Х – вектор оценок состояния природы

Х = {x₁ , x₂} (6)

R (Y, D) играет роль платежа в игре статистика с природой.

Результаты анкетного опроса выявили следующую ситуацию: 10% респондентов согласны на снижение цены на 30%, 10% респондентов согласны на снижение цены на 40%, 80% респондентов не дали ответа, т.е. практически отказались от покупки. Следовательно, спрос на костюмы оказался малоэластичным.

Учитывая возможность ошибок при анкетировании случайно отобранных покупателей, принимаем следующие условные распределения результатов x₁ и x₂ от действительного состояния природы Y₁ и Y₂ :

P{x₁,Y₁} = 0,7

P{x₁, Y₂} = 0,2

P{x₂, Y₂} = 0,3

P{x₂, Y₂} = 0,8

С учетом двух возможных экспериментальных значений оценок x₁ и x_2, которым соответствует одно из двух допустимых решений торгового предприятия – a₂ или a₃ , множество нерандомизированных функций (табл. 5) будет состоять из четырех элементов:

D = {d₁ , d₂ , d₃ , d₄} (7)

Таблица 5

Нерандомизированные функции

X / D	d1	d2	d3	d4
x1	a2	a2	a3	a3
x2	a2	a3	a2	a3

Таким образом, решение d₃ означает, что нужно принять решение a₃ , если результатом эксперимента является состояние x₁ , и решение a₂ , если результатом эксперимента является состояние x₂ .

Для каждой из этих нерандомизированных функций решения можно с учетом обоих состояний природы Y₁ и Y₂ вычислить значение функции риска (табл. 6) R (Y, D):

R (Y, D) =  L(Y, A) * P {X, Y} (8)

Тогда:

R (Y₁, d₁) = 39*0,7 + 39*0,3 = 39,00

R (Y₁, d₂) = 39*0,7 + 33,6*0,3 = 37,38

R (Y₁, d₃) = 33,6*0,7 + 39*0,3 = 35,22

R (Y₁, d₄) = 33,6*0,7 + 33,6* 0,3 = 33,6

R (Y₂, d₁) = 11*0,2 + 11*0,8 = 11

R (Y₂, d₂) = 11*0,2 + 12*0,8 = 11,8

R (Y₂, d₃) = 12*0,2 + 11*0,8 = 11,2

R (Y₂, d₄) = 12*0,2 + 12*0,8 = 12

Таблица 6

Матрица значений функции риска

Y / D	d1	d2	d3	d4
Y1	39	37,38	35,22	33,6
Y2	11	11,8	11,2	12

Оптимальным решением для этой матрицы будет такое решение о размере сезонного снижения цен на летние костюмы, которое максимально защищает торговое предприятие от высоких потерь.

Наиболее осторожной функцией решения будет минимаксная стратегия статистика. Выбираем для каждого столбца матрицы значений функции риска максимальный элемент, а затем среди них – минимальный элемент. Тем самым определяется столбец решения.

В нашем примере минимальное значение среди максимальных – 33,6, которое соответствует функции решения d₄ , т.е. есть стратегии снижения цены на 40% как при малоэластичном, так и при высокоэластичном спросе.

Выводы по работе.

1. Определить стратегические роли статистика и природы в статистической и стратегической играх.

2. Оценить функцию потерь и функцию риска при различных коэффициентах эластичности спроса.

3. Выбрать на основе статистической игры и обосновать стратегию сезонного снижения цен.

4. Какие ценовые тактики могут поддерживать стратегию сезонного снижения цен?

Варианты задания

Вариант	Малоэластичный спрос	Высокоэластичный спрос
	э11 э21 э31 э41	э12 э22 э32 э42
1,7 вариант	0,5 0,6 0,9 1,0	1,1 1,5 1,8 1,3
2, 8 вариант	0,9 1,1 1,15 1,1	1,5 1,3 1,4 1,7
3, 9 вариант	1,1 1,0 1,05 1,1	1,8 1,45 1,6 1,2
4, 10 вариант	1,0 0,9 0,6 0,5	1,3 1,8 1,5 1,1
5, 11 вариант	1,1 1,15 1,1 0,9	1,7 1,4 1,3 1,5
6, 12 вариант	1,1 1,05 1,0 1,1	1,2 1,6 1,45 1,8

Рекомендуемая литература для подготовки к отчету:

1. Котлер Ф. Маркетинг менеджмент. – СПб.: Питер-Ком, 1999.

2. Тарасевич В.М. Экономико-математические методы и модели в ценообразовании. – Издат-во Ленингр. фин.-эконом. института, 1991.

3. Багиев Г.Л., Тарасевич В.М., Анн Х. Маркетинг. – М.: Экономика, 2001.

4. Матвеева Н.Ю. Статистика: учебное пособие. – Иваново: ИГАСА, 2002.

5. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. – М.: МИР, 1999.

6. Дихтль Е., Хершген Х. Практический маркетинг. – М.: Высшая школа, 1995.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4