- •1 Вопрос
- •2 Вопрос
- •3 Вопрос
- •4 Вопрос
- •Теорема о необходимом и достаточном условии существования предела последовательности:
- •Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей:
- •5 Вопрос
- •Монотонная функция:
- •6 Вопрос
- •Функция синус
- •Функция косинус
- •Функция тангенс
- •Функция котангенс
- •7 Вопрос
- •8 Вопрос
- •9 Вопрос
- •10 Вопрос
- •11 Вопрос
- •12 Вопрос
- •13 Вопрос
7 Вопрос
Предел функции в точке:
На ε-δ языке:
Число ε называется lim f при x→a, если
На языке последовательностей:
Число A называют lim f(x) при x→a, если
На языке окрестностей:
Число A называют пределом f(x) при x→a, если
Односторонние пределы:
Число A называется пределом функции f(x) при x→a справа, если
Число A называется пределом функции f(x) при x→a слева, если
Предел функции при :
Число A называется пределом функции f(x) при x→, если
8 Вопрос
Свойства функций, имеющих предел в точке:
Локальная ограниченность:
Если f(x) имеет lim в точке a, то существует и число k такие, что
Доказательство: по Коши: пусть lim f(x) = A при х→a. Возьмем =1. По определению предела для существует
Cохранение знака:
lim f(x) = A, A0 при x→a, тогда
1.
2.
Доказательство:
Возьмем . По Коши: , т.к.
-
Если A>0, то
-
Если A<0, то
Переход к пределу в неравенствах:
Пусть в некоторой при x→a, тогда
Доказательство: по Гейне: xn→a, xna. Построим две последовательности:
По условию:,
Арифметические операции:
Доказательство: по Гейне:
Дальнейшее доказательство очевидно.
9 Вопрос
Бесконечно малая: если .
Бесконечно большая: если
Свойства:
1. Если - б.м. при x→a, , то - б.б.
Доказательство: - б.б.
2. Если - б.б. при x→a, , то - б.м.
Доказательство: Аналогично первому.
3. Если - б.м. при x→a, а g(x) – ограниченная, то *g(x) – б.м. последовательность при x→a.
Доказательство: = x – б.м., x→0.
10 Вопрос
Определения непрерывности функции в точке:
Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если
Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если
Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если
Функция f(x) называется непрерывной в точке a для любой последовательности xn→a, значение функции которой стремится к а. (f(xn)) →a)
Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если
Свойства функций, непрерывных в точке:
Арифметические: сложение, вычитание, умножение, деление.
Доказательство: Если функции f и g непрерывны в точке a, то следует из свойств пределов функции в точке и непрерывности точке:
Непрерывность сложной функции: если f(x) непрерывна в точке a, а функция g(x) непрерывна в точке , такое, что a = g(), то сложная функция F(t)=f(g(t)) непрерывна в точке
Доказательство:
Локальная ограниченность функции в ограниченной точке: если функция f непрерывна в точке, то она ограничена в окрестности данной точки f в точке a и и число k такое, что
Сохранение знака: если f непрерывна в точке a и f(a) , то существует окрестность точки a, то такая, что
1.
2.
11 Вопрос
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке
-
Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ;
-
Эти односторонние пределы конечны.
При этом возможно следующие два случая:
-
Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:
Такая точка называется точкой устранимого разрыва.
-
Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:
Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.
Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.