- •1 Вопрос
- •2 Вопрос
- •3 Вопрос
- •4 Вопрос
- •Теорема о необходимом и достаточном условии существования предела последовательности:
- •Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей:
- •5 Вопрос
- •Монотонная функция:
- •6 Вопрос
- •Функция синус
- •Функция косинус
- •Функция тангенс
- •Функция котангенс
- •7 Вопрос
- •8 Вопрос
- •9 Вопрос
- •10 Вопрос
- •11 Вопрос
- •12 Вопрос
- •13 Вопрос
3 Вопрос
Арифметические операции над последовательностями, имеющими предел:
Дано: lim xn = a, lim yn = b при n→∞.
-
Сложение (xn+yn = a+b).
-
Вычитание (xn-yn = a-b).
-
Умножение (xn*yn = a*b).
-
Деление (xn/yn = a/b, yn и b ≠ 0).
Доказательство:
1. Из определений последовательностей:
ε > 0, n1(ε), n > n1:
ε > 0, n2(ε), n > n2:
Получим: . Доказано
2. Аналогично первому.
3.Т.к. последовательность сходящаяся, то она ограниченна =>
M>0, n: |xn|M, M|b| :
|xn-a| < ;
|yn-b| < , где число M выберем позже.
< M*+ M* = .
4. Аналогично 3, только не забыть, что yn и b ≠ 0, иначе деление на ноль.
4 Вопрос
Бесконечно малая:
Последовательность an называется бесконечно малой, если
Бесконечно большая:
Последовательность an называется бесконечно большой, если
Теорема о необходимом и достаточном условии существования предела последовательности:
Для того, чтобы число a было lim xn, необходимо и достаточно, чтобы xn = a + n, где n – б.м.
Доказательство:
-
Необходимость: Дано: xn→a. Докажем, что при xn→a существует n, такое,
что xn = a + n:
n = xn – a,
lim n = lim xn – a, при n→a
lim xn – a, при n→a равняется lim xn – lim a = a – a = 0. Доказано.
-
Достаточность: Дано: xn = a + n:
Доказать: xn = a.
lim xn = lim(a + n) при n→∞ равняется lim a + lim n = a + 0 = a. Доказано.
Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей:
-
Если n – беск. малое, n ≠ 0, то - бесконечно большое.
Доказательство:
-
Если n – беск. большое, n ≠ 0, то - бесконечно малое.
Доказательство: аналогично первому
-
Произведение б.м. последовательности на ограниченную последовательность есть б.м. последовательность.
Доказательство: Дано:
Докажем, что :
Возьмем
-
Если то . Только если последовательность отделима от нуля, т.е. c > 0.
Доказательство: нет.
5 Вопрос
Понятие функции:
Определение: Отношение f между А и В, при котором каждому элементу из А соответствует не более одного элемента из В называется функцией.
Способы задания функции:
Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством
Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.
Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.
Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.
Монотонная функция:
Функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется строго монотонной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.
Ограниченная функция:
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M,
что |f ( x )| M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.
Периодическая функция:
Функция, повторяющая свои значения через какой-то ненулевой период, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода).
Называется периодической, если
Четная функция:
Функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно оси ординат).
Нечетная функция:
Функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно центра координат).