Оптимальные и адаптивные системы (1 четверть).

1. Введение.

Цель управления – привести объект в заданное состояния. Задача управления – найти такое U, при котором достигается цель. Решение задачи управления в этой постановке не является однозначным. Из возможных вариантов решения желательно выбрать эффективное управление. При классическом подходе нескольким показателям качества назначаются желаемые значения. Синтезируемая СУ должна обеспечить значение показателей не хуже желаемых. При современном подходе назначается единый обобщенный критерий, обычно в виде интегрального соотношения:

Требуется определить такое управление U, при котором решается задача управления (1), а критерий качества (2) принимает экстремальное значение. Такое U* называется оптимальным и сама система – системой оптимального управления.

Для решения задачи оптимального управления используется 3 группы методов:

1. Классическое вариационное исчисление.

2. Принцип максимума Понтрягина (ПМП).

3. Методы динамического программирования.

Задача Оптимального управления в мат постановке состоит из трех частей:

1. Критерий. .

2. Ограничение 1го вида:

3. Ограничение 2го вида: .

Уравнение Эйлера:

Наиболее общей задачей вариационного исчисления является задача Лагранжа на поиск условного экстремума функционала:

(

Задача Лагранжа соответствует задаче управления, поэтому методы вариационного исчисления применяются для решения задач оптимального управления.

Глава 1. Принцип максимума Понтрягина (пмп).

Методами вариационного исчисления решение задачи управления ищется в классе непрерывных функций, имеющих непрерывную производную. Кроме того в постановке задачи Лагранжа отсутствуют ограничения 2го вида. На практике управляющие воздействия часто ограничены по уровню и имеют «релейный» вид (кусочно-постоянная функция). В методе ПМП допускается кусочно-постоянная функция с разрывами и ограничения на переменные. Понтрягиным введено понятие игольчатой вариации. Основная теорема основана на том факте, что приращение функционала обращается в 0, если игольчатая вариация выполняется относительно оптимального управления.

1. Методика пмп.

Постановка задачи. Пусть мат модель ОУ в переменных состояния имеет вид:

На управляющее воздействие накладываем ограничение по уровню:

Объект (1) требуется перевести из начального состояния в конечное таким образом, чтоб критерий управления принимал минимальное значение

Эта задача решается по следующей методике ПМП:

1. Вводится дополнительная переменная

– расширенный вектор переменных состояния.

- расширенная система уравнений объекта.

2. Составляется функция Гамильтона .

- вектор переключающих функций, ортогональный вектору

3. Решается задача максимума H по U: (5). Для этого из H предварительно выделяется часть слагаемых, зависящих от U. H*- функция Понтрягина.

4. При решении задачи (5) определяем ОУ U*, которое обычно выражается через функцию Ψ, поэтому для определения функции Ψ используется система канонически-сопряженных уравнений.