- •Численные методы
- •Часть 3
- •Содержание
- •Введение
- •Классификация методов взвешенных невязок
- •Частные случаи метода взвешенных невязок
- •Метод моментов
- •Метод коллокаций
- •Метод подобластей
- •Метод наименьших квадратов
- •Метод конечных разностей
- •Расширение понятия функции
- •Пространство основных функций
- •Обобщенные функции
- •Дифференцирование обобщенных функций
- •Сходимость метода взвешенных невязок Основные понятия и определения
- •Обобщенное решение дифференциального уравнения
- •Сходимость метода конечных элементов
- •Контрольные вопросы и задания
- •Аппроксимация функций
- •Функции одной переменной
- •Кусочно-постоянные функции
- •Кусочно-линейные функции
- •Функции высших степеней
- •Иерархические многочлены
- •Функции двух переменных Треугольные конечные элементы. Линейная аппроксимация
- •Квадратичная аппроксимация
- •Четырехугольные конечные элементы
- •Функции трех переменных
- •Контрольные вопросы и задания
- •Задачи теплопроводности
- •Уравнение стационарной теплопроводности
- •Аппроксимация решения кусочно-линейными функциями
- •Процедура ансамблирования конечных элементов
- •Аппроксимация решения кусочно-квадратичными функциями
- •Использование иерархических многочленов
- •Уравнение нестационарной теплопроводности
- •Контрольные вопросы и задания
- •ЗадачИ механики деформируемого твердого тела Постановка задачи
- •Разрешающие соотношения метода взвешенных невязок Уравнение равновесия
- •Физические уравнения
- •Геометрические уравнения
- •Ансамблирование конечных элементов
- •Плоско-деформированное состояние
- •4 Узел 3 узел 3 узел
- •1 Элемент
- •2 Элемент
- •Плоско-напряженное состояние
- •Осесимметричное напряженно-деформированное состояние
- •Решение задач упругопластичности
- •Метод переменных параметров упругости
- •Метод дополнительных нагрузок
- •Контрольные вопросы и задания
- •ЗадачИ механики жидкости
- •Уравнения движения в переменных «функция тока – вихрь скорости»
- •Граничные условия
- •Граничные условия для функции тока
- •Граничные условия для функции завихренности
- •Соотношения метода взвешенных невязок
- •Разрешающие соотношения для функции тока
- •Разрешающие соотношения для функции завихренности
- •Разрешающие соотношения для поля давления
- •Алгоритм решения задачи
- •Контрольные вопросы и задания
- •Метод граничных элементов
- •Фундаментальное решение
- •Построение фундаментального решения
- •Контрольные вопросы и задания
- •Предметный указатель
- •Библиографический список
- •Приложение Бояршинов Михаил Геннадьевич Численные методы
- •Часть 3
Кусочно-линейные функции
Набор кусочно-линейных функций представлен на рис. 2 .2. Если все узлы отрезка [0, 1] перенумеровать, каждая функция будет ассоциироваться с i-м узлом, соответствующим ее номеру. В своем узле значение i равно 1, а в соседних эта функция обращается в 0, изменяясь линейно вдоль прилежащих к этому узлу интервалов. Во всей остальной области пробная функция i тождественно равна 0.
Как и в предыдущем случае, представим заданную функцию в виде разложения ( 2 .0) при m = 5, где
В соответствии с выражением ( 2 .1) определяются значения интегралов,
, ,
, .
Рис. 2.2. Пробные кусочно-линейные функции
Вычисление остальных интегралов и подстановка полученных значений в выражение ( 2 .1) приводит к системе пяти линейных алгебраических уравнений относительно ,
(2.4)
Решением этой системы уравнений являются коэффициенты разложения
.
Нетрудно проверить, что найденные коэффициенты можно рассматривать в качестве приближенных значений аппроксимируемой функции в узлах сеточной области (рис. 2 .3).
Рис. 2.3. Аппроксимация зависимости (сплошная линия)
кусочно-линейными пробными функциями (–о–)
Из приведенных примеров следует, что при кусочно-постоянных функциях с каждым конечным интервалом [xi, xj] связана одна базисная функция i(x) (рис. 2 .4, а), при кусочно-линейной аппроксимации с тем же интервалом ассоциируются две функции (рис. 2 .4, б),
и ,
где h = xj – xi – длина соответствующего интервала.
(x) i(x) j(x)
xi xj xi xj
а б
Рис. 2.4. Кусочно-постоянные (а) и кусочно-линейные (б) базисные функции, ассоциируемые с конечным отрезком [xi, xj]
Для второго примера ясен геометрический смысл коэффициентов разложения ( 2 .0) в ряд по базисным функциям
,
то есть коэффициент ai аппроксимирует значение заданной функции в узле xi разностной сетки. Этот факт широко используется в различных реализациях метода конечных элементов. Рассмотренный способ аппроксимации функций может быть продолжен для получения базисных функций более высоких порядков.
Функции высших степеней
Для построения квадратичной аппроксимации на отрезке [xi, xj] вводится дополнительный узел xk (рис. 2.6), который, как правило, располагается в его центре. Первая функция конструируется в виде
.
Потребуем, чтобы она удовлетворяла на выбранном отрезке следующим условиям:
,
то есть в своем узле обращалась в 1, а в соседних была бы равна 0. Это требование приводит к системе трех линейных алгебраических уравнений
относительно коэффициентов , и . Определители этой системы
, ,
,
позволяют вычислить и построить первую пробную функцию
.
Эта функция удовлетворяет всем предъявляемым требованиям. Аналогичным конструируются пробные функции
, .
Вид этих квадратичных функций, ассоциированных с отрезком [xi, xj], представлен на рис. 2.6. На рис. 2 .6 показаны те же функции, ассоциированные с узлами отрезка.
Рис. 2.5. Квадратичные пробные функции на отрезке [xi, xj]
В общем случае для построения на отрезке [xi, xj] системы базисных функций степени p
следует ввести дополнительно (p – 1) узлов. Коэффициенты , , ..., могут быть определены из решения соответствующих систем линейных алгебраических уравнений
Вместе с тем целесообразно использовать для определения базисных функций способ, используемый при построении полинома Лагранжа,
.
Очевидно, что в этом случае
Кубические пробные функции, для построения которых внутри отрезка вводятся два дополнительных узла с координатами и , имеют вид
, ,
,
и показаны на рис. 2 .7.
Рис. 2.6. Квадратичные пробные функции, ассоциируемые с узлами отрезка
Пусть на отрезке [xi, xj] задана естественная координата с началом в центре отрезка,
.
Очевидно, что в пределах этого отрезка естественная координата принимает значения . В этой системе координат пробные функции представляются следующим образом:
– линейные
, ;
– квадратичные
, , ;
– кубические
, ,
, .
Рис. 2.7. Кубические пробные функции на отрезке [xi, xj]