Контрольные вопросы и задания

• Как строится аппроксимация заданной функции методом взвешенных невязок с использованием набора кусочно-гладких функций?

• Опишите процедуру аппроксимации заданной функции с использованием набора кусочно-постоянных пробных функций.

• Опишите процедуру аппроксимации заданной функции с использованием набора кусочно-линейных пробных функций.

• Опишите процедуру аппроксимации заданной функции с использованием набора кусочно-квадратичных пробных функций.

• Какой смысл имеют коэффициенты разложения заданной функции по системе пробных функций?

• Какая система пробных функций носит название иерархической?

• В чем преимущество иерархической системы полиномов перед обычными пробными функциями?

• Установите смысл коэффициентов разложения заданной функции по иерархической системе полиномов (по выбору).

• Проверьте ортогональность (в указанном смысле) полиномов Лежандра для приведенной системы функций .

• Постройте, используя указанную процедуру, дополнительные полиномы Лежандра .

3. Задачи теплопроводности

В этой и последующих главах рассматривается последовательность и особенности применения метода Галеркина, как частного случая метода взвешенных невязок, для решения прикладных задач механики сплошных сред.

Уравнение стационарной теплопроводности

Распределение температуры в одномерном тонком однородном стержне, теплоизолированном с боковой поверхности (рис. 3 .0, а), описывается параболическим уравнением стационарной теплопроводности

(3.0)

с граничными условиями¹

(3.1)

Здесь обозначено: T(x) – температура, W – мощность внутреннего теплового источника, Q₀, Q₁ – проекции векторов тепловых потоков на внешние нормали к торцевым поверхностям стержня на левом и правом концах,  – коэффициент теплопроводности. Для упрощения выкладок будем считать W и  постоянными величинами.

Q₀ Q₁

L

а

q_i q_j x

x_i h x_j

б

Рис. 3.0. Схема одномерной задачи теплопроводности (а) и отдельный элемент рассматриваемого стержня (б)

Аппроксимация решения кусочно-линейными функциями

Стержень, имеющий длину L, разбивается на 4 (для определенности) равных отрезка длиной каждый. Для произвольного отрезка (рис 3 .0, б) температурное поле описывается уравнением ( 3 .0), граничные условия записываются в форме

, , (3.2)

где – тепловые потоки на внутренних границах конечного элемента.

Построим разрешающие соотношения метода Галеркина (вариант метода взвешенных невязок, при котором в качестве взвешивающих и пробных функций используются одни и те же функции). Первоначально выбираются кусочно-линейные пробные функции в виде

.

С использованием этих функций решение задачи на отрезке разыскивается в виде

, (3.3)

где T_i, T_j – узловые значения искомого распределения температуры.

Невязка уравнения ( 3 .0), получаемая на приближении ( 3 .3), взвешивается с использованием функций _i и _j,

(3.4)

Первое из этих уравнений преобразуется к виду

,

,

.

Поскольку , из последнего выражения следует

.

Учитывая ( 3 .2) и используя представление решения ( 3 .3), приходим к выражению

. (3.5)

Аналогичные преобразования второго уравнения системы ( 3 .4) приводят к соотношению

. (3.6)

В итоге получена систему линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений температур T_i и T_j, то есть коэффициентов разложения ( 3 .3) решения по пробным функциям. Подсчитаем интегралы в выражениях ( 3 .5) и ( 3 .6).

;

,

;

, .

Подстановка полученных значений в формулы ( 3 .5) и ( 3 .6) приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов T_i и T_j ,

(3.7)

Удобно эту систему уравнений представить в матричной форме

. (3.8)