Плоско-напряженное состояние

В плоско-напряженном состоянии находятся тела, имеющие пренебрежимо малый размер в одном из направлений: пластины, оболочки, мембраны и тому подобные. В этом случае напряженное состояние в указанном направлении (на рис. 4 .4 – вдоль оси z) практически не изменяется по толщине (при равных давлениях с внешних сторон напряжение _zz по модулю равно этому давлению).

y

Рис. 4.4. Расчетная схема плоско-напряженного состояния

O x

z

Если поверхности пластины (оболочки) свободны от нагрузки, то можно полагать . Принимается, что в плоскостях Oxz и Oyz сдвиговые деформации отсутствуют, то есть . Обратимся к соотношениям закона Гука ( 4 .14) для установления связи между компонентами тензоров напряжения и деформации при плоско-напряженном состоянии. Из условия

легко вычисляется компонента _zz тензора деформации,

.

Это означает, что из шести компонент тензора деформации независимыми являются лишь три, _xx, _yy и _xy.

Кроме того,

.

С учетом этого оставшиеся три компоненты тензора напряжений определяются выражениями

,

, .

Полученные выражения позволяют установить связь векторов напряжения и деформации в виде ( 4 .15), где

.

Система уравнений относительно коэффициентов разложения решения в ряд по пробным функциям соответствует выражению ( 4 .18) с матрицами [B_k], [_k], {F} и {F}, определенными ранее.

Осесимметричное напряженно-деформированное состояние

При условиях осевой симметрии формы рассматриваемой конструкции и осесимметричных граничных кинематических и силовых условиях (форма тела и условия его нагружения не зависят от угла , рис. 4 .5) принимается допущение, что сдвиговые деформации

,

и, согласно закону Гука ( 4 .14), компоненты тензора напряжения

.

Это, в свою очередь, означает, что при анализе напряженно-деформированного состояния можно рассматривать не все тело, а только его сечение в плоскости Orz.

Установим зависимость между компонентами тензоров напряжения и деформации согласно ( 4 .14),

,

,

, .

Эти выражения позволяют записать связь компонентов тензоров напряжения и деформации в матричной форме ( 4 .15), где обозначено

,

.

Рис. 4.5. Расчетная схема осесимметричного

напряженно-деформированного состояния

Обратимся к системе разрешающих соотношений ( 4 .10). Для цилиндрической системы координат коэффициенты Ляме равны . Ковариантные производные, согласно [11], определяются выражениями

.

В цилиндрической системе координат символы Кристоффеля, отличные от нуля, принимают значения

.

Подстановка этих формул в соотношения ( 4 .10) приводит к выражению (в физических компонентах тензоров и векторов)

.

Векторная функция , согласно ( 4 .5), имеет компоненты

,

и предыдущее выражение приводится уравнению

.

Для векторных функций и уравнения имеют вид, соответственно,

,

,

и так далее для всех прочих функций

Учитывая, что для осесимметричного напряженно-деформированного состояния , пробные функции _k не зависят от угла , поверхностные нагрузки и массовые силы (в этом случае второе выражение обращается в тождество), приходим к системе уравнений

которая в матричной записи имеет вид

,

, (4.21)

где

,

остальные обозначения введены ранее.

Для установления кинематических соотношений, как и ранее, вектор перемещений представляется в виде

.

Для цилиндрической системы координат (с учетом осевой симметрии напряженно-деформированного состояния) связи компонент тензора деформации и вектора перемещений устанавливаются формулами

, ,

которые в матричной записи имеют вид

.

Последовательная подстановка ( 4 .15) и последнего выражения в соотношение ( 4 .21) приводит к системе алгебраических уравнений метода взвешенных невязок для осесимметричной задачи механики деформируемого твердого тела, совпадающей по виду с выражением ( 4 .18),

.

Подынтегральные выражения содержат интегралы по области , занимаемой конечным элементом. Для цилиндрических координат это соответствует

.

При определении коэффициентов матрицы жесткости конечного элемента приходится вычислять значения интегралов вида

и другие. Даже при аппроксимации решения линейными пробными функциями это представляет значительные трудности.

Практика использования метода взвешенных невязок показывает, что с приемлемой точностью такого вида интегралы можно заменять выражениями

,

где – координаты центра тяжести конечного элемента, S_p – как и ранее, площадь конечного элемента. Очевидно, что точность такого приближения повышается с уменьшением размеров конечных элементов.