- •Численные методы
- •Часть 3
- •Содержание
- •Введение
- •Классификация методов взвешенных невязок
- •Частные случаи метода взвешенных невязок
- •Метод моментов
- •Метод коллокаций
- •Метод подобластей
- •Метод наименьших квадратов
- •Метод конечных разностей
- •Расширение понятия функции
- •Пространство основных функций
- •Обобщенные функции
- •Дифференцирование обобщенных функций
- •Сходимость метода взвешенных невязок Основные понятия и определения
- •Обобщенное решение дифференциального уравнения
- •Сходимость метода конечных элементов
- •Контрольные вопросы и задания
- •Аппроксимация функций
- •Функции одной переменной
- •Кусочно-постоянные функции
- •Кусочно-линейные функции
- •Функции высших степеней
- •Иерархические многочлены
- •Функции двух переменных Треугольные конечные элементы. Линейная аппроксимация
- •Квадратичная аппроксимация
- •Четырехугольные конечные элементы
- •Функции трех переменных
- •Контрольные вопросы и задания
- •Задачи теплопроводности
- •Уравнение стационарной теплопроводности
- •Аппроксимация решения кусочно-линейными функциями
- •Процедура ансамблирования конечных элементов
- •Аппроксимация решения кусочно-квадратичными функциями
- •Использование иерархических многочленов
- •Уравнение нестационарной теплопроводности
- •Контрольные вопросы и задания
- •ЗадачИ механики деформируемого твердого тела Постановка задачи
- •Разрешающие соотношения метода взвешенных невязок Уравнение равновесия
- •Физические уравнения
- •Геометрические уравнения
- •Ансамблирование конечных элементов
- •Плоско-деформированное состояние
- •4 Узел 3 узел 3 узел
- •1 Элемент
- •2 Элемент
- •Плоско-напряженное состояние
- •Осесимметричное напряженно-деформированное состояние
- •Решение задач упругопластичности
- •Метод переменных параметров упругости
- •Метод дополнительных нагрузок
- •Контрольные вопросы и задания
- •ЗадачИ механики жидкости
- •Уравнения движения в переменных «функция тока – вихрь скорости»
- •Граничные условия
- •Граничные условия для функции тока
- •Граничные условия для функции завихренности
- •Соотношения метода взвешенных невязок
- •Разрешающие соотношения для функции тока
- •Разрешающие соотношения для функции завихренности
- •Разрешающие соотношения для поля давления
- •Алгоритм решения задачи
- •Контрольные вопросы и задания
- •Метод граничных элементов
- •Фундаментальное решение
- •Построение фундаментального решения
- •Контрольные вопросы и задания
- •Предметный указатель
- •Библиографический список
- •Приложение Бояршинов Михаил Геннадьевич Численные методы
- •Часть 3
Геометрические уравнения
Вектор перемещений точек сплошной среды раскладывается по системе пробных функций,
. (4.16)
Установим матричную форму связи ( 4 .2) между компонентами тензора деформаций и компонентами вектора перемещений,
, , ,
,
, .
Полученные выражения в матричной записи
с помощью обозначений ( 4 .12) можно представить в форме
. (4.17)
Теперь, подставляя последовательно ( 4 .15) и ( 4 .17) в выражение ( 4 .13), получаем систему линейных алгебраических уравнений,
, (4.18)
относительно коэффициентов ui, vi и wi разложения функции перемещения в ряд по пробным функциям ( 4 .5). Решение этой системы уравнений позволяет находить поля перемещений ( 4 .16), деформаций ( 4 .17), определять напряженное состояние тела, используя выражение ( 4 .15).
Ансамблирование конечных элементов
Пусть два конечных элемента имеют общую сторону (рис. 4 .0, а).
wi wi wi
vi vi vi
ui Fz ui ui
Fy
Fx
а б
Рис. 4.0. Конечные элементы, имеющие общую сторону (а);
ансамблирование конечных элементов в единую композицию (б)
При объединении двух конечных элементов (рис. 4 .0, б) в единую композицию учитывается условие их механического взаимодействия1. Это означает, что интегралы по поверхности ГF в уравнениях ( 4 .18) для двух соседних элементов будут различаться лишь знаками. Поэтому при почленном сложении уравнений неизвестные усилия взаимодействия и (силы, являющиеся внутренними для системы этих элементов) будут исключены из уравнений. Коэффициенты, находящиеся при одинаковых узловых перемещениях (в рассматриваемом случае – ui, vi и wi), будут складываться.
Для всего ансамбля конечных элементов, покрывающего исследуемую область, в результате ансамблирования все внутренние усилия будут исключены из результирующей системы линейных алгебраических уравнений. В конечном итоге в нее войдут лишь самые внешние поверхностные нагрузки, задаваемые граничными условиями вида ( 4 .3).
Плоско-деформированное состояние
В плоско-деформированном состоянии находятся тела, форма и размеры поперечного сечения, условия нагружения которых не зависят от одного из направлений. Размер тела в этом направлении велик, и продольной деформацией можно пренебречь. В качестве примера рассматривается длинный брус (рис. 4 .1, а), находящийся на твердой горизонтальной площадке под действием вертикальной нагрузки, не изменяющейся вдоль оси z. Форма и размеры его поперечного сечения вдоль этой же оси не изменяются.
y
y
x
Г Гp
z 0 x
а б
Рис. 4.1. Схема плоско-деформированного состояния (а) и форма
поперечного сечения тела (б)
Для рассматриваемого случая, как показывают экспериментальные наблюдения, продольная деформация пренебрежимо мала, и можно считать, что . Кроме того, из анализа геометрических условий следует, что . С учетом этих допущений из соотношений закона Гука ( 4 .14) для упругого деформирования получаются выражения
, ,
, , , .
С другой стороны, из того же закона Гука следует
.
И, в силу ,
,
то есть компонента тензора напряжений не является независимой величиной. В этом случае матричное соотношение ( 4 .15) представляется в виде
, (4.19)
.
Учитывая, что , и решение задачи не зависит от переменной z, в системе разрешающих соотношений ( 4 .11) остаются лишь два уравнения
В матричной форме эти уравнения записываются в виде, аналогичном выражению ( 4 .13). Вид матрицы {m} определен выражением ( 4 .19), а также используются обозначения
.
Связь компонент тензора деформаций и вектора перемещений определяется в виде, аналогичном выражению ( 4 .17), где
.
С учетом введенных обозначений окончательно система алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов разложения имеет вид, аналогичный выражению ( 4 .18). Необходимо отметить, что при интегрировании по области и границе Г,
,
,
причем во всех слагаемых системы уравнений ( 4 .18) появляется общий множитель L, равный размеру рассматриваемого тела в направлении оси z, который можно сократить. Иными словами, интегрирование в дальнейшем производится только по области p поперечного сечения и по контуру p границы (рис. 4 .1, б).
Пусть реализация разрешающих соотношений производится на треугольных конечных элементах с линейной интерполяцией решения внутри каждого из них,
где i, j, k – номера вершин произвольного конечного элемента, пробные функции i, j, k определены выражениями (2.5). В матричной форме эти выражения представим в виде
.
Соответственно, матрицы [Br], r = i, j, k имеют вид
, , ,
система уравнений ( 4 .18) преобразуется к форме
. (4.20)
Вычисляются значения матриц, входящих в эту систему уравнений:
,
,
,
,
,
,
,
,
;
;
;
.
При выводе этих выражений принято, что в пределах конечного элемента модуль упругости Е, температура T, коэффициенты Пуассона и температурного расширения материала постоянны; Sp – площадь p-го треугольного конечного элемента. Вводятся матричные обозначения
,
,
где {up} – вектор всех узловых перемещений p-го треугольного конечного элемента, [Kp] – матрица жесткости для этого же конечного элемента. Теперь система уравнений ( 4 .20) для одного конечного элемента представляется в форме (суммирование по индексу p не производится)
.
Пример 4.1. Рассматривается осадка длинной стальной полосы с квадратным поперечным сечением размером 22 м2, зажатой между двумя гладкими горизонтальными плитами (рис. 4 .2). Каждая из плит осаживается на величину . Требуется определить, на какую величину сместятся боковые стороны этой полосы в результате деформирования.
Так как форма поперечного сечения является симметричной, можно рассматривать лишь четверть исследуемой области (рис. 4 .2, б). Кинематические граничные условия указаны на том же рисунке. Поскольку плиты, деформирующие полосу, абсолютно гладкие, трение между ними и стальной полосой отсутствует, касательные усилия на контактной поверхности равны нулю. На свободной боковой поверхности полосы отсутствуют как нормальные, так и касательные нагрузки.
Для упрощения анализа алгоритма определения напряженно-деформированного состояния объекта рассматриваемая часть поперечного сечения полосы аппроксимируется только двумя конечными элементами, как это показано на рис. 4 .2, б.
y y
x
0 x
а б
Рис. 4.2. Геометрическая схема осадки длинной полосы (а) и схема кинематических граничных условий (б)
Пробные функции для первого треугольного элемента, показанного на рис. 4 .3, определены в виде
.
y