- •Численные методы
- •Часть 3
- •Содержание
- •Введение
- •Классификация методов взвешенных невязок
- •Частные случаи метода взвешенных невязок
- •Метод моментов
- •Метод коллокаций
- •Метод подобластей
- •Метод наименьших квадратов
- •Метод конечных разностей
- •Расширение понятия функции
- •Пространство основных функций
- •Обобщенные функции
- •Дифференцирование обобщенных функций
- •Сходимость метода взвешенных невязок Основные понятия и определения
- •Обобщенное решение дифференциального уравнения
- •Сходимость метода конечных элементов
- •Контрольные вопросы и задания
- •Аппроксимация функций
- •Функции одной переменной
- •Кусочно-постоянные функции
- •Кусочно-линейные функции
- •Функции высших степеней
- •Иерархические многочлены
- •Функции двух переменных Треугольные конечные элементы. Линейная аппроксимация
- •Квадратичная аппроксимация
- •Четырехугольные конечные элементы
- •Функции трех переменных
- •Контрольные вопросы и задания
- •Задачи теплопроводности
- •Уравнение стационарной теплопроводности
- •Аппроксимация решения кусочно-линейными функциями
- •Процедура ансамблирования конечных элементов
- •Аппроксимация решения кусочно-квадратичными функциями
- •Использование иерархических многочленов
- •Уравнение нестационарной теплопроводности
- •Контрольные вопросы и задания
- •ЗадачИ механики деформируемого твердого тела Постановка задачи
- •Разрешающие соотношения метода взвешенных невязок Уравнение равновесия
- •Физические уравнения
- •Геометрические уравнения
- •Ансамблирование конечных элементов
- •Плоско-деформированное состояние
- •4 Узел 3 узел 3 узел
- •1 Элемент
- •2 Элемент
- •Плоско-напряженное состояние
- •Осесимметричное напряженно-деформированное состояние
- •Решение задач упругопластичности
- •Метод переменных параметров упругости
- •Метод дополнительных нагрузок
- •Контрольные вопросы и задания
- •ЗадачИ механики жидкости
- •Уравнения движения в переменных «функция тока – вихрь скорости»
- •Граничные условия
- •Граничные условия для функции тока
- •Граничные условия для функции завихренности
- •Соотношения метода взвешенных невязок
- •Разрешающие соотношения для функции тока
- •Разрешающие соотношения для функции завихренности
- •Разрешающие соотношения для поля давления
- •Алгоритм решения задачи
- •Контрольные вопросы и задания
- •Метод граничных элементов
- •Фундаментальное решение
- •Построение фундаментального решения
- •Контрольные вопросы и задания
- •Предметный указатель
- •Библиографический список
- •Приложение Бояршинов Михаил Геннадьевич Численные методы
- •Часть 3
-
Классификация методов взвешенных невязок
Классификацию методов взвешенных невязок рассмотрим на примере уравнения Пуассона
(1.0)
с граничными условиями
, (1.1)
(1.2)
где – граница области . Решение задачи ( 1 .0) – ( 1 .2) будем искать в виде конечной суммы
(1.3)
с использованием пробных функций ; – коэффициенты, подлежащие определению. Пусть функции i(x) выбраны таким образом, что решение, представленное в форме ( 1 .3), точно удовлетворяет граничным условиям ( 1 .1) и ( 1 .2). В этом случае коэффициенты должны быть найдены из условия удовлетворения решения ( 1 .3) исходному дифференциальному уравнению1.
Поскольку разложение ( 1 .3) строится с использованием конечной системы пробных функций, решение um получается приближенным и при подстановке в исходное дифференциальное уравнение (1.1) образует невязку
,
распределенную в области .
Выберем систему взвешивающих функций , с помощью которой взвесим невязку в области , и потребуем выполнения условия
,
откуда следует
. (1.4)
Если система взвешивающих функций обладает свойством полноты, то из условия ортогональности невязки m ко всем функциям k следует, что . Если, кроме этого, система пробных функций i(x) обладает свойством замкнутости, то , где u – решение задачи ( 1 .0).
Пусть пробные функции i(x) выбраны так, что не удовлетворяют точно граничным условиям ( 1 .1) и ( 1 .2) на границах ГU и ГQ. Взвесим невязки
,
на соответствующих границах области,
.
Теперь, как и в предыдущем случае, можно потребовать выполнения условий ортогональности невязок U и Q взвешивающим функциям:
, (1.5)
(1.6)
и решать совместно систему уравнений ( 1 .4) – ( 1 .6) для поиска коэффициентов ai разложения ( 1 .3) искомого решения. Однако, целесообразно объединить соотношения ( 1 .4) и ( 1 .5), ( 1 .6).
Для дальнейших выкладок воспользуемся теоремой Грина1 [9],
. (1.7)
Первоначально положим , то есть ( 1 .7) принимает вид
.
С учетом этого соотношение ( 1 .4) преобразуется к выражению
,
.
Согласно ( 1 .6),
,
откуда следует
. (1.8)
Основной результат выполненного преобразования заключается в понижении порядка производной искомой функции, входящей в получаемое соотношение. Иными словами, можно ослабить1 требования к пробным функциям, а именно, требовать, чтобы вместо , как это требуется для решения уравнения ( 1 .0).
Вновь воспользуемся выражением ( 1 .7), полагая теперь ,
.
Подставляя полученное соотношение в ( 1 .8), получаем
,
.
Поскольку, согласно ( 1 .5),
,
после преобразований приходим к выражению
. (1.9)
Следует обратить внимание, что в полученном выражении искомая функция вынесена из под дифференциального оператора2. В то же время под знаком оператора Лапласа3 находятся взвешивающие функции, что ужесточает предъявляемые к ним требования.
Методы (): Методы ():
Рис. 1.1. Классификация методов взвешенных невязок
Если взвешивающие функции подобраны так, так они удовлетворяют уравнению
,
из выражения ( 1 .9) следует соотношение, связывающие лишь граничные значения искомой функции um и ее производной ,
. (1.10)
Полученные соотношения являются основой граничных методов для решения уравнений в частных производных, например, метода граничных элементов, метода граничных интегральных уравнений, метода Трефца и ряда других. На рис. 1 .1 приведена схема классификации методов взвешенных невязок, предложенная в монографии [2].