Построение фундаментального решения
Рассматривается линейное дифференциальное уравнение
.
Собственные функции n, удовлетворяющие оператору L, определяются соотношением
,
где n – собственные значения.
Пример 6.4. Рассмотрим уравнение
.
Собственными функциями для него являются,
например,
Действительно,
,
причем собственные значения
Для того же уравнения имеется другая
система собственных функций,
,
Пример 6.5. Пусть в области
задано дифференциальное уравнение
с однородными граничными условиями
.
Собственными функциями для этого уравнения являются
Подстановка этого выражения в исходное уравнение дает
,
Вводятся скалярное произведение
и норма
.
Для построения фундаментального решения уравнения
(6.6)
может применяться следующий конструктивный
алгоритм. Пусть имеется замкнутая
ортонормированная система собственных
функций
для линейного дифференциального
оператора L. Коэффициенты разложения
функции
в ряд Фурье по этой системе равны
.
Это означает, что сама -функция представима в виде
.
Пример 6.6. Представление функции
на отрезке [–,]
с помощью ряда Фурье
,
где коэффициенты ap, bp определяются по формулам Эйлера-Фурье
,
.
Пусть для определенности xk = 0, тогда
,
и -функция представляется разложением
.
Очевидно, что в точке x = 0 функция обращается в бесконечность,
.
Интеграл от этого ряда
.
На рис. 6 .1 показано поведение ряда Фурье для -функции при различных p вблизи точки x = 0.
Рис. 6.1. Ряды Фурье для -функции при различных p (обозначены на рисунках) вблизи точки x = 0
Представим искомое фундаментальное
решение k(x)
разложением в ряд Фурье по той же системе
функций
,
.
Подстановка разложения функции k(x) в силу линейности оператора L приводит к выражению
.
С учетом этого уравнение ( 6 .6) приводится к виду
.
В силу независимости собственных функций
имеет место
.
Отсюда следует, что
,
и фундаментальное решение уравнения ( 6 .6) принимает вид
.
Контрольные вопросы и задания
-
Получите разрешающие соотношения метода граничных элементов с использованием метода взвешенных невязок (на примере уравнения Пуассона).
-
Дайте определение фундаментального решения краевой задачи.
-
Для чего используется -функция Дирака при получении фундаментального решения заданного дифференциального уравнения.
-
Обоснуйте необходимость применения фундаментального решения в методе граничных элементов.
-
Покажите, что функция
является фундаментальным решением
двумерного уравнения
. -
Предложите систему собственных функций для дифференциального уравнения
. -
Постройте фундаментальное решение для дифференциального уравнения
. -
Постройте фундаментальное решение для дифференциального уравнения из примера 6.4.
-
Постройте фундаментальное решение для дифференциального уравнения из примера 6.5.
Предметный указатель
а
аппроксимация
квадратичная 39
кусочно-линейными функциями 47
линейная 38
Б
Бреббиа К. 4
в
вычислительный эксперимент 103
Г
Гамильтон У. Р. 64
Генки Г. 87
г
гипотеза единой кривой 87
граничные условия
I рода 52
II рода 47, 48
III рода 53
кинематические 64
силовые 64
функция завихренности 96
функция тока 95
Г
Грина Дж. 7
Гук Р. 67
д
давление 94
деформация объемная 68
Д
Дирак П. А. М. 17
з
закон Гука 71, 82, 87
З
Зенкевич О. 4
з
значение собственное 112
к
координата естественная 34
коэффициенты
Ляме 65
Пуассона 67
Юнга 67
Л
Лаплас П. С. 8
Лежандр А. М. 37
м
метод
внутренний 6
граничных интегральных уравнений 9
граничных элементов 4, 9, 105
дополнительных нагрузок 89
коллокаций 12
конечных разностей 15
конечных элементов 4
моментов 11
наименьших квадратов 14
переменных параметров упругости 87
подобластей 13
множество
плотное 20
слабо компактное 20
модуль Юнга 67
н
нагружение простое 87
напряжения
дополнительные 89
полные 89
упругие 89
невязка 6, 48
о
оператор
H-эллиптический 22
Лапласа 108
ортогонального проектирования 20
осадка полосы 74
О
Остроградский М. В. 97
п
переменные внутренние 50
полиномы
иерархические 35
Лежандра 37
последовательность
сильно сходящаяся 20
слабо сходящаяся 20
слабо фундаментальная 20
фундаментальная 19
поток тепловой 47, 48, 52
предел слабый 20
проектор 20
производная
ковариантная 84
обобщенной функции 18
пространство
банахово 20
вложенное 19
гильбертово 20
основное 17
полное 20
сепарабельное 20
сопряженное 20
р
решение
обобщенное 22, 25
обобщенное, по Галеркину 22
фундаментальное 4, 107, 112
ряд Тейлора 96
с
символы Кристоффеля 84
состояние
осесимметричное 83
плоско-деформированное 70
плоско-напряженное 82
сумма пространств прямая 19
схема разностная
Крэнка-Николсона 62
неявная 62
явная 61
т
тензор
деформации 64, 69, 86
деформации, второй инвариант 87
деформации, девиатор 87
метрический, компоненты 65
напряжения 64
напряжения, второй инвариант 87
напряжения, девиатор 87
физико-механических свойств 64
теорема
Рисса 20
течение в замкнутой полости 101
у
уравнение
Пуассона 6
равновесия 64
уравнения
геометрические 64, 69
давления 100
Лапласа 105
Навье-Стокса 93
несжимаемости 94
Пуассона 105
равновесия 64
теплового баланса 50, 51
теплопроводности, нестационарное 59
теплопроводности, стационарное 47
физические 64, 67
ф
формулировка
обратная 8, 105
ослабленная 65
слабая 8
формулы Тома 96
функции
билинейные 43
высших степеней 32
двух переменных 38
иерархические 35
квадратичные 32, 34, 54
кубические 33, 35
линейные 34, 38
пробные, векторные 64
степени p 33
трех переменных 44
функция
(-функция 16, 107
ассоциируемая с узлом 29, 34
билинейная 22
взвешивающая 6
завихренности 93
индикаторная 13
кусочно-линейная 29
кусочно-постоянная 27
обобщенная 17
определение 16
основная 17
пробная 6, 27
собственная 112
тока 93
финитная 16
Хевисайда 18
Х
Хевисайд О. 19
ч
число Рейнольдса 94, 103
э
элементы конечные
ансамблирование 49, 62, 70, 79
матрица жесткости 74
параллелепипеды 45
сеточная область 102
тетраэдральные 44
треугольные 38
четырехугольные 43
Ю
Юнг Т. 67