- •Численные методы
- •Часть 3
- •Содержание
- •Введение
- •Классификация методов взвешенных невязок
- •Частные случаи метода взвешенных невязок
- •Метод моментов
- •Метод коллокаций
- •Метод подобластей
- •Метод наименьших квадратов
- •Метод конечных разностей
- •Расширение понятия функции
- •Пространство основных функций
- •Обобщенные функции
- •Дифференцирование обобщенных функций
- •Сходимость метода взвешенных невязок Основные понятия и определения
- •Обобщенное решение дифференциального уравнения
- •Сходимость метода конечных элементов
- •Контрольные вопросы и задания
- •Аппроксимация функций
- •Функции одной переменной
- •Кусочно-постоянные функции
- •Кусочно-линейные функции
- •Функции высших степеней
- •Иерархические многочлены
- •Функции двух переменных Треугольные конечные элементы. Линейная аппроксимация
- •Квадратичная аппроксимация
- •Четырехугольные конечные элементы
- •Функции трех переменных
- •Контрольные вопросы и задания
- •Задачи теплопроводности
- •Уравнение стационарной теплопроводности
- •Аппроксимация решения кусочно-линейными функциями
- •Процедура ансамблирования конечных элементов
- •Аппроксимация решения кусочно-квадратичными функциями
- •Использование иерархических многочленов
- •Уравнение нестационарной теплопроводности
- •Контрольные вопросы и задания
- •ЗадачИ механики деформируемого твердого тела Постановка задачи
- •Разрешающие соотношения метода взвешенных невязок Уравнение равновесия
- •Физические уравнения
- •Геометрические уравнения
- •Ансамблирование конечных элементов
- •Плоско-деформированное состояние
- •4 Узел 3 узел 3 узел
- •1 Элемент
- •2 Элемент
- •Плоско-напряженное состояние
- •Осесимметричное напряженно-деформированное состояние
- •Решение задач упругопластичности
- •Метод переменных параметров упругости
- •Метод дополнительных нагрузок
- •Контрольные вопросы и задания
- •ЗадачИ механики жидкости
- •Уравнения движения в переменных «функция тока – вихрь скорости»
- •Граничные условия
- •Граничные условия для функции тока
- •Граничные условия для функции завихренности
- •Соотношения метода взвешенных невязок
- •Разрешающие соотношения для функции тока
- •Разрешающие соотношения для функции завихренности
- •Разрешающие соотношения для поля давления
- •Алгоритм решения задачи
- •Контрольные вопросы и задания
- •Метод граничных элементов
- •Фундаментальное решение
- •Построение фундаментального решения
- •Контрольные вопросы и задания
- •Предметный указатель
- •Библиографический список
- •Приложение Бояршинов Михаил Геннадьевич Численные методы
- •Часть 3
Контрольные вопросы и задания
-
Обоснуйте принцип построения системы пробных функций для пространственных (трехмерных) задач.
-
Покажите, что система пробных функций ( 4 .5) для пространственных задач является полной и замкнутой.
-
Воспроизведите построение разрешающих соотношений метода Галеркина для уравнений равновесия деформируемого твердого тела с использованием конечно-элементной аппроксимации.
-
Сформулируйте основные гипотезы плоско-деформированного напряженного-деформированного состояния.
-
Сформулируйте основные гипотезы плоско-напряженного напряженного-деформированного состояния.
-
Сформулируйте основные гипотезы осесимметричного напряженного-деформированного состояния.
-
Обоснуйте процедуру ансамблирования конечных элементов. Каким образом учитываются кинематические и силовые граничные условия при получении системы линейных алгебраических уравнений метода Галеркина?
-
Укажите различия в системах разрешающих соотношений метода Галеркина при моделировании плоско-напряженного и плоско-деформированного состояний твердого тела.
-
Укажите различия в системах разрешающих соотношений метода Галеркина при моделировании осесимметричного и плоско-деформированного состояний твердого тела.
-
Сформулируйте гипотезу единой кривой, используемую в теории малых упругопластических деформаций.
-
Сформулируйте условие пластического нагружения деформируемого материала.
-
Сформулируйте условия простого нагружения материала при упругопластическом деформировании.
-
Обоснуйте идею решение упругопластических задач с помощью последовательности решений задач упругости.
-
Опишите идею метода переменных параметров упругости. Приведите схему этого метода.
-
Опишите идею метода дополнительных нагрузок. Приведите схему этого метода.
-
ЗадачИ механики жидкости
Пусть – вектор скорости частицы жидкости. Вводятся векторные (в общем случае) функции тока и завихренности , определяемые соотношениями
(5.0)
Учитывая, что
,
,
в компонентной форме соотношения ( 5 .0) имеют вид
,
.
В дальнейшем рассматривается плоское (двухмерное) течение жидкости. В этом случае приведенные выражения упрощаются. Функция тока (здесь и далее индекс z опускается) связана с компонентами vx и vy вектора скорости выражениями
. (5.1)
Функция завихренности (вихрь скорости) определяется также одной компонентой,
, (5.2)
Уравнения движения в переменных «функция тока – вихрь скорости»
Рассматривается система уравнений Навье-Стокса в безразмерной форме [10], описывающих движение вязкой несжимаемой жидкости,
, (5.3)
, (5.4)
. (5.5)
Здесь обозначено: x, y – координаты произвольной точки рассматриваемой области, t – время, P – давление, – число Рейнольдса, L, V – характерные размер области и скорость течения, – вязкость жидкости. Для функции тока уравнение несжимаемости
выполняется тождественно. Дифференцирование уравнения ( 5 .3) по переменной y, уравнения ( 5 .4) – по переменной x приводит к выражениям
,
.
Вычитание первого выражения из второго приводит к соотношению
.
С использованием уравнения несжимаемости ( 5 .5) и определения ( 5 .2) функции завихренности предыдущее соотношение принимает вид дифференциального уравнения
. (5.6)
Подстановка формул ( 5 .1) в выражение ( 5 .2) позволяет получить дифференциальное уравнение относительно функции тока ,
,
. (5.7)
Выполненные преобразования позволили тождественно удовлетворить уравнение несжимаемости ( 5 .5) и исключить из уравнений Навье-Стокса давление P. Решение системы уравнений ( 5 .6) и ( 5 .7) позволяет найти распределения функций и , а использование соотношений ( 5 .1) – определить компоненты vx и vy вектора скорости.
С другой стороны, дифференцирование уравнения ( 5 .3) по переменной x, а уравнения ( 5 .4) – по переменной y,
,
и сложение полученных выражений с учетом уравнения несжимаемости ( 5 .5) приводит к соотношению
, (5.8)
которое можно рассматривать как дифференциальное уравнение относительно давления P в случае, если распределения компонент vx и vy вектора скорости найдены из решения предыдущих уравнений.
Преобразование уравнения несжимаемости ( 5 .5)
,
позволяет преобразовать уравнение ( 5 .8) к виду
,
а с учетом формул ( 5 .1) записать это уравнение в форме
.