Частные случаи метода взвешенных невязок
Многие хорошо известные численные методы, используемые при решении задач математической физики, могут интерпретироваться как частные случаи метода взвешенных невязок.
Рис. 1.2. Точное решение задачи ( 1 .11) с граничным условием ( 1 .12)
Рассматривается дифференциальное уравнение
(1.11)
с граничными условиями
, (1.12)
имеющее точное решение (рис. 1 .2):
. (1.13)
С помощью различных численных методов построим приближенные решения этого уравнения в виде
,
удовлетворяющем граничным условиям ( 1 .12). Для упрощения будем удерживать только два слагаемых в разложении решения по степеням аргумента x:
. (1.14)
Погрешность получаемого приближенного решения будем оценивать с помощью точного решения ( 1 .13).
Невязка уравнения ( 1 .11) на приближенном решении:
. (1.15)
В соответствии с идеей метода потребуем равенства нулю от взвешенной по всей области интегрирования невязки 1:
, (1.16)
где k, k = 0, 1, 2, … – полная система взвешивающих функций.
Метод моментов
Выберем последовательность 1, x, x2, … в качестве взвешивающих функций k. В соответствии с ( 1 .16) получим выражения:
,
.
Интегрирование приводит к системе двух алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов 0 и 1:
Решение этой системы:
.
На рис. 1 .3 показана погрешность
решения, полученного методом
моментов, по сравнению с точным решением
( 1 .13).
Рис. 1.3. Погрешность метода моментов
Метод коллокаций
В качестве взвешивающих функций k выбираются –функции Дирака. В частности,
,
где x1 и x2 – произвольные точки отрезка [0, 1]. Подсчитаем выражения ( 1 .16) для этого случая:
,
.
Иными словами, в этом методе требуется удовлетворение невязки не в среднем по всей области интегрирования, а в конечном числе точек отрезка,
Выбирая в качестве таких точек x0 = ¼ и x1 = ½, приходим к системе алгебраических уравнений:
Решением системы являются
.
На рис. 1 .4 показана погрешность решения,
полученного методом коллокаций.
Рис. 1.4. Погрешность метода коллокаций
Метод подобластей
Пусть рассматриваемая область разделена на m подобластей i, которые могут перекрывать друг друга. Взвешивающие функции, которые в этом случае можно назвать индикаторными, определяются следующим образом:
Для задачи ( 1 .11) –
( 1 .12) в качестве подобластей рассмотрим
и
.
Теперь соотношения ( 1 .16) имеют вид:
,
.
Интегрирование приводит к системе уравнений
Решение этих уравнений:
.
На рис. 1 .5 показана погрешность решения,
полученного методом подобластей.
Рис. 1.5. Погрешность метода подобластей
Метод наименьших квадратов
Построим функционал
,
минимум которого, равный нулю, достигается
при
.
Поскольку
,
условия экстремума функционала, согласно
теореме Лагранжа, можно представить в
виде
,
.
Последнее выражение можно трактовать как вариант метода взвешенных невязок с весовыми функциями
.
В соответствии с ( 1 .14) определяются весовые функции:
,
.
В соответствии с ( 1 .16) строятся выражения
,
.
Рис. 1.6. Погрешность метода наименьших квадратов