Iнтерполяція функцій

На практиці зазвичай задана таблиця значень деякої невідомої функції f(x) на відрізку [a,b] і необхідно знайти її значення у проміжних точках, що не входять у таблицю. Для цього будують апроксимуючу функцію (x), яка наближено дорівнює функції f(x), і використовують її для знаходження приблизних значень f(x) у проміжних точках. На відміну від цього у даній роботі для того, щоб студент мав можливість порівняти наближене та точне значення, функція f(x) задана. Треба спочатку побудувати таблицю її значень і потім провести інтерполяцію.

Функцiя y=f(x) та iнтервал [a,b], на якому виконується iнтерполяцiя, наведено у табл.2.1, варiанти завдань - у табл.2.2. На початку програми, використовуючи y=f(x), побудувати таблицю її значень в (n+1)-й точцi x_i=a+iH, H=(b-a)/n, i=0,1,…,n. В усiх варiантах, якщо не вказано iншого, взяти n=5. Якщо поліном будується у канонічному вигляді, надрукувати його коефіцієнти.

У програмі побудуйте таблицю значень: x; точне f(x), наближене (x), абсолютну похибку f(x)-(x), відносну похибку (f(x)-(x))100/ f(x) з кроком h=(b-a)/(4n) для відрізку [a-H, b+H]. У будь-якому вариантi необхiдно надрукувати на одному полi в загальному масштабi графiки функцiй f(x) та (x) на тому ж відрізку.

Таблиця 2.1

№	Функція	Відрізок	№	Функція	Відрізок
1	x2+sin x	[-2;3]	16	(1+x)e-2x	[-1;1.5]
2	+sin x	[0;2.5]	17	th(1-x)	[1;5]
3	+cos x	[0;5]	18	e-xsin x	[-1;3]
4	sin x-cos(2x)	[1;3.5]	19	x4+3x+1	[-1;1]
5	e0,2x+cos x	[-1;3]	10	cos x-sin(2x)	[1;3.5]
6	x2+sin x	[1;3]	21	(1+x)e-2x	[-1;3]
7	+sin x	[0;6]	22	th(1-x)	[1;3]
8	+cos x	[1;4]	23	e-xsin x	[0;6]
9	sin x-cos(2x)	[2;5]	24	x4+3x+1	[1;4]
10	e0,2x+cos x	[-2;3]	25	cos x-sin(2x)	[2;5]
11	x2+sin x	[-1;3]	26	(1+x)e-2x	[-2;3]
12	+sin x	[1;3]	27	th(1-x)	[-1;3]
13	+cos x	[0;6]	28	e-xsin x	[1;3]
14	sin x-cos(2x)	[1;4]	29	x4+3x+1	[0;6]
15	cos x-sin(2x)	[2;5]	30	e0,2x+cos x	[0;5]

Спосіб інтерполяції:

1) Кусково-лiнiйна iнтерполяцiя. 2) Кусково-параболiчна iнтерполяцiя, n=4. 3) Кусково-кубiчна iнтерполяцiя, n=6. 4) Iнтерполяцiйний полiном Лагранжа.

Спосiб обчислення:

1. Програмно одержати полiном у виглядi , визначивши коефіцієнти a_k, а потім використати його для обчислення φ(z_j). У випадку багатоiнтервальної інтерполяції (x) являє собою набір поліномів невеликого степеня, коефіцієнти яких зберігаються в прямокутному масиві.

2. Значення (z) обчислювати безпосередньо згідно з відповідною інтерполяційною формулою.