2.3.5 Формула Байeса (английский математик 1702–1762 г.Г.)

Пусть в результате испытаний произошло событие А. Оно могло произойти только совместно с одним из событий ,, ..., , которые образуют полную систему и безусловные вероятности этих событий известны. Требуется найти вероятности событий при условии, что событие А произошло. По формуле условной вероятности

, i=1, 2, ..., n.

Мы получили формулу Байеса, которая дает выражение послеопытных вероятностей (апостериорных) через доопытные (априорные) вероятности. , , ..., называют гипотезами, поэтому формулу Байеса иногда называют формулой гипотез. Если доопытные вероятности событий ,, ..., неизвестны, то их полагают равными: P()= P()= ... =P(). Тогда формула упрощается и

.

Формула Байеса может служить основанием для принятия решений после проведения эксперимента. Но для того, чтобы выбор правдоподобной гипотезы имел достаточно оснований, необходимо, чтобы в результате эксперимента ее апостериорная вероятность была достаточно близка к единице.

Пример 1.(продолжение предыдущего). Определить, чему равна вероятность того, что взятое наугад изделие изготовлено первой машиной, если оно оказалось бракованным?

Решение. Необходимо вычислить P(/ A) = 0,10,01 / 0,046 = 0,022.

Пример 2. На складе имеются приборы, изготовленные тремя заводами. 20% изготовлено 1-ым заводом, 50% 2-ым и 30% 3-м заводом. Вероятности, что в течение гарантийного срока прибору потребуется ремонт, для продукции каждого из заводов соответственно равны: 0,2; 0,1; 0,3 . Взятый со склада прибор не имеет заводской маркировки и потребовал ремонта в течение гарантийного срока. Каким заводом вероятнее всего был изготовлен этот прибор? Какова его вероятность?

Решение. Обозначим через ={прибор изготовлен i-ым заводом}, i=1,2,3, а через А = {прибор дефектный}. Тогда P() = 0,2; P() = 0,5; P() = 0,3; P(A/) = 0,2; P(A/) = 0,1; P(A/) = 0,3; P(A) = 0,20,2 + 0,50,1+0,30,3=0,18; P(/ A) = 0,222; P(/ A) = 0,278; P(/ A) = 0,5. Следовательно, вероятнее всего дефектный прибор изготовлен 3-им заводом.

§2.4. Модель независимых испытаний Бернулли.

2.4.1. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

Пусть испытания выполняются по следующей схеме, которая называется схемой Бернулли и удовлетворяет следующим условиям:

1. Испытания независимы, т.е. вероятность события А не зависит от того, появилось или не появилось это событие в других испытаниях.

2. Вероятность появления события А (успех) одна и та же в каждом испытании, т.е., а .

3. Испытания могут повторятся n раз при одних и тех же условиях.

Испытаниями Бернулли будут, например, бросание монеты (герб-успех), контроль на стандартность изделия (стандартное изделие-успех), наблюдение за погодой, проводимые в данный день (скажем, 10 февраля) (дождь-успех) и т.д.. Определению испытаний Бернулли не будут удовлетворять бросания по разному искривленных монет (от бросания к бросанию меняется вероятность успеха), наблюдения за погодой в последовательные дни одного года (нет независимости) и т.д..

Рассмотрим следующую задачу.

В условиях схемы Бернулли определить вероятность события A, состоящего в том, что при n повторных независимых испытаниях событие A произойдет ровно k раз безразлично в какой последовательности.

Пусть , т.е. выполнено одно испытание. Тогда событие A наступит с вероятностью или наступит противоположное ему событие с вероятностью .

Очевидно, что

При произойдет одно из следующих событий: , .

Эти четыре события попарно несовместны и одно из них обязательно должно произойти, т.е. они образуют полную систему событий. Вычислим вероятности этих событий. События, входящие в произведения, независимы. Поэтому

, , и

.

Продолжая вычисления для n=3, 4, 5, ..., k, ... убедимся в том, что, если событие А появилось ровно k раз и не появилось n – k раз, то

.

Число таких комбинаций, если взять другую последовательность появления события А, равно . Следовательно,

, k=0, 1, 2, ..., n.

Эта формула называется формулой Бернулли.

Если вычислить для всех значений k и сложить их, то эта сумма будет равна единице, как сумма вероятности событий, образующих полную систему:

Из этого равенства получим формулу вероятности появления события A хотя бы один раз в n независимых испытаниях

.

Этой формулой можно воспользоваться для вычисления числа опытов n, которые необходимы для того, чтобы с вероятностью можно было утверждать, что событие A произойдет по крайней мере один раз.

Отсюда

Пример. В лотерее 1000 билетов, среди которых 10 выигрышей по 1млн. рублей, 30 выигрышей по 500 000 рублей, 60 выигрышей по 200 000 рублей и 150 по 60 000 рублей. Найти вероятность кого-нибудь выигрыша при покупке четырех лотерейных билетов.

Решение. Пусть событие A={выигрывает лотерейный билет}; событие {проигрыш}.

Событие А наступит, если произойдет одно из несовместных событий:

{выиграть 1 млн. руб.}, { выиграть 500 000 руб.}, ={ выиграть 200000 руб.}, ={ выиграть 60 000 руб.}, т.е. По теореме сложения вероятностей найдем:

.

Тогда

Отсюда вероятность хотя бы одного выигрыша при покупке четырех лотерейных билетов равна

2. Наивероятнейшее число появления события при повторении испытаний.

Рассмотрим пример. Садовод сделал осенью 6 прививок. По опыту прошлых лет известно, что после зимовки 7 из каждых 10 черенков оставались жизнеспособными. Какое число прижившихся черенков наиболее вероятно?

Решение. Предположим, что вероятность события A = {привитый черенок приживается} одинакова для всех черенков и равна 0,7 и что испытания независимы. Составим таблицу значения вероятностей для k=0,1,...,6, учитывая, что p = 0,7, q = 0,3, n = 6.

k	0	1	2	3	4	5	6
	0,0007	0,0102	0,0593	0,1852	0,3241	0,3025	0,1176

Из таблицы видно, что наибольшая вероятность соответствует событию

B ={приживутся 4 черенка}. Следовательно, это событие более возможно, чем другие.

Решим эту задачу в общем виде.

Обозначим число появлений события A, имеющего наибольшую вероятность, через . Тогда

и .

Для первого неравенства имеем

или, учитывая формулу Бернулли,

.

После преобразования получим

или .

Выполнив те же преобразования для второго неравенства, получим . Объединив оба неравенства, получим

.

Числа и отличаются на единицу. Поэтому, если –дробное число, то и также дробное и неравенство определяет одно . Если –целое, то и –также целое. Тогда и будут иметь равную и наибольшую вероятность.

В задаче о садоводе вычислим . Имеем . Число -целое, поэтому .

Пример. При установившемся технологическом процессе 80% всей произведенной продукции оказывается продукцией высшего сорта. Найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта в партии из 250 изделий.

Решение. Тогда следовательно,

Вычислим вероятность того, что в партии из 250 изделий окажется изделий высшего сорта, т.е.

Непосредственное вычисление вероятности является нелегкой задачей. Поэтому английским математиком Муавром (1667–1754 гг.) была предложена в 1733 г. приближенная формула для частного случая, которая затем была обобщена французским математиком, физиком и астроном Лапласом П.С. в 1812 г. и получила гордое название «центральной предельной теоремы» (см. Тема 5, §2).

2.4.3. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Теорема. Если вероятность наступления события A в каждом из n независимых испытаний постоянна и ровна p , то справедлива при следующая приближенная формула

где а

Формула дает тем более точный результат, чем больше n.

Для функции составлены таблицы. Так как то таблицы составлены для значений (см. Приложение).

Продолжим пример. По условию задачи

так как и .

Окончательно, .

Пример. На опытном поле посеяно 1500 семян. Найти вероятность события A, состоящего в том, что всходы дадут ровно 1200 семян, если считать, что каждое зерно взойдет с вероятностью 0,9.

Решение. Так как n = 1500, k = 1200, p = 0,9, q = 0,1, то

.

По таблице .

.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Теорема. Если вероятность наступления события A в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна то справедлива следующая приближенная формула (при )

где – вероятность того, что при n независимых повторных испытаниях событие A наступит не менее чем раз и не более чем раз,

Интеграл не выражается через элементарные функции. Поэтому для вычисления вероятности пользуются таблицей функции Лапласа (см. Приложение)

.

Свойства функции .

1. Функция нечетная, т.е. Поэтому в таблице приведены значения функции для При x=0,

2. Функция , возрастающая на интервале т.к. ее производная положительная при любом x.

3. При .

Замечание. Имеются таблицы, где .

С помощью функции Лапласа вероятность можно вычислить по формуле

Пример. Вероятность того, что изделие прошло, контроль равна p=0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных изделий окажутся прошедшими контроль от 70 до 100 изделий.

Решение. По условию задачи n = 400;