3.4.7. Показательное (экспоненциальное) распределение.

Вернемся к рассмотрению простейшего потока событий с интенсивностью а (см. распределение Пуассона) и введем непрерывную случайную величину Т– промежуток времени между двумя появлениями события. По смыслу . Определим для нее функцию распределения:

Вероятность противоположного события ) равна вероятности того, что в промежутке времени (0,t) не наступит ни одно событие потока, т.е.

.

Следовательно, вероятность искомого события

при

Определение. Положительная случайная величина имеет показательное распределение с параметром , если ее функция распределения задается формулой

для ,

для .

Плотность распределения находится по общему правилу

для .

Параметр а в ряде областей именуется «отношением риска».

Числовые характеристики: .

Области применения.

Укажем две области.

1. Задачи, связанные с данными типа «времени жизни». В медико-биологических исследованиях под этим термином может подразумеваться продолжительность жизни больных при клинических исследованиях, в технике – продолжительность безотказной работы устройств, в психологии –время, затрачиваемое испытуемыми на выполнение тестовых задач и т.д..

2. Задачи массового обслуживания. Интервалы между вызовами «скорой помощи», телефонными звонками или обращением клиентов и т.д., описываются показательным распределением. Оно широко используется в теории надежности для описания распределения времени безотказной работы прибора или системы, если интенсивность отказа можно считать постоянной; длительности ремонта или другого вида обслуживания.

Пользуясь показательным распределением можно определить вероятность того, что время надежной работы не выйдет из заданного интервала .

.

Задавшись вероятностью , можно определить время надежной работы, гарантированной с этой вероятностью, так как

и .

Пример 1. Пусть в результате наблюдений за работой системы в течение 100 ч зарегистрировано 5 отказов.

Определить:

1. Функцию надежности системы, т.е. что система будет работать без отказа.

2. Вероятность безотказной работы в течение 50 ч.

3. Время безотказной работы, гарантированное с вероятностью .

Решение. Из условия задачи известно, что t = 100, n = 5, a = 5:100 = 0,05 отказа в 1 час.

1. Функция надежности: .

2. .

3. .

Пример 2. Среднее время обслуживания покупателя 20 мин. Чему равна вероятность простоя в очереди от 20 до 40 минут?

Решение. Из условия задачи известно, что = 20 мин. Следовательно, . Искомая вероятность

.

3.4.8. Связь между некоторыми распределениями.

Случайная величина

Дискретная Непрерывная

Распределения Распределения

Биноми-альное	Пуассона	Гипергео-метрическое	Равномерное	Нормальное	Показательное

Некоторые из рассмотренных распределений при больших n и некоторых дополнительных условиях сходятся к другим типам распределений. Например, биноминальное распределение с параметрами n и p может быть аппроксимировано нормальным распределением с и , если выполняются условия npq > 5 и . При условии npq > 25 эту аппроксимацию можно применять независимо от значения p. При условии, что р < 0,1 и n велико биноминальное распределение может быть аппроксимировано распределением Пуассона. Распределение Пуассона может быть аппроксимировано нормальным распределением с , если . Когда , но и n остаются фиксированными, то гипергеометрическое распределение сходится к биномиальному. При малых р, больших n и гипергеометрическое распределение может аппроксимироваться распределением Пуассона.