- •Авторы: Новротская Надежда Леонидовна, доцент
- •Рецензент: Хацкевич г.А., профессор
- •Часть I
- • Новротская н.Л.
- •Часть I
- •Тема 1. Введение.
- •§1.1. Предмет теории вероятностей.
- •§1.2. Общие правила комбинаторики.
- •§1.3. Вопросы для самопроверки.
- •§1.4. Задачи.
- •Тема 2. Случайные события и их вероятности.
- •§2.1. Случайные события и их классификация.
- •§2.2. Действия с событиями.
- •§2.3. Вероятностное пространство. Вероятности и правила действия с ними.
- •2.3.1. Определение вероятности события.
- •2.3.2. Вероятность суммы событий.
- •Условная вероятность и теорема умножения вероятностей.
- •2.3.5 Формула Байeса (английский математик 1702–1762 г.Г.)
- •§2.4. Модель независимых испытаний Бернулли.
- •2.4.1. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
- •§2.5. Вопросы для самопроверки.
- •§2.6. Задачи.
- •Тема 3. Случайные величины и их распределения.
- •§3.1. Виды случайных величин и их распределения.
- •§ 3.2. Плотность распределения вероятностей.
- •§ 3.3. Числовые характеристики распределения вероятностей и их свойства
- •3.3.2. Примеры использования математического ожидания.
- •Дисперсия случайной величины и ее свойства.
- •Моменты.
- •3.3.5. Характеристики формы распределения (асимметрия и эксцесс).
- •Квантили.
- •§ 3.4. Примеры распределений.
- •3.4.2. Распределение Пуассона.
- •3.4.3. Гипергеометрическое распределение.
- •3.4.6. Нормальное распределение.
- •3.4.7. Показательное (экспоненциальное) распределение.
- •§ 3.5. Вопросы для самопроверки.
- •§ 3.6. Задачи.
§ 3.5. Вопросы для самопроверки.
-
Что называется случайной величиной? Дайте определения дискретной и непрерывной случайных величин и приведите примеры такого рода величин.
-
Что называется распределением вероятностей дискретной случайной величины X и каким образом можно задать это распределение?
-
Дайте определение функции распределения и укажите ее свойства.
-
Дайте определение плотности распределения вероятностей и укажите ее свойства.
-
Укажите формулы для вычисления вероятности попадания случайной величины в заданный интервал.
-
Что называется математическим ожиданием случайной величины и каковы его свойства?
-
Что называется дисперсией случайной величины и каковы ее свойства?
-
Случайную величину X умножили на постоянную величину C. Как при этом изменится математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение?
-
Дайте определение начального и центрального моментов порядка K. Какими моментами являются математическое ожидание и дисперсия?
-
Укажите числовые характеристики, описывающие форму распределения.
-
Какое распределение называется биномиальным? При каких условиях оно возникает?
-
Какое распределение называется распределением Пуассона и каковы условия его возникновения?
-
Написать формулу плотности нормального распределения и объяснить смысл входящих в нее параметров.
-
Написать формулу для вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал [].
-
Как нужно преобразовать нормально распределенную случайную величину X , чтобы получить нормально распределенную величину Y ?
16. В чем состоит правило “трех сигм”? Каково его практическое применение?
§ 3.6. Задачи.
-
Завод отправил на базу 100000 керамических изделий. Вероятность того, что изделие в пути разобьется, равна 0,00006. Составить закон распределения числа поврежденных изделий, указав первые 4 члена. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
-
Два студента сдают 2 зачета. Вероятность того, что первый студент сдаст любой из зачетов равна 0,9, а второй – 0,8. Составить закон распределения общего числа сданных зачетов.
-
Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,002.
а) Найти вероятность того, что 5 человек среди 1000 пассажиров некоего поезда опоздали;
б) составить первые три члена закона распределения числа опоздавших;
в) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
-
При некотором технологическом процессе брак составляет в среднем 3%. Составить закон распределения числа стандартных изделий среди взятых наудачу 5 изделий этого производства.
-
Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,005. Телефонная станция обслуживает 600 абонентов. Найти вероятность того, что в течение часа позвонит пять абонентов.
-
В радиоаппаратуре за 10000 ч. непрерывной работы происходит замена десяти ламп. Найти вероятность выхода из строя радиоаппаратуры из-за выхода из строя ламп за 100 ч. непрерывной работы.
-
Вероятность того, что изделие не выдержит испытания, равна 0,0004. Найти вероятность того, что из 1000 изделий не выдержит испытаний не менее двух.
-
На шоссе установлен контрольный пункт для проверки технического состояния автомобилей. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение времени ожидания машины контролером, если поток машин простейший и время (в часах) между прохождением машин через контрольный пункт распределено по показательному закону с параметром a = 10.
-
Для телефонной станции в интервале от 10 до 11 часов дня средняя интенсивность поступающих вызовов в стационарном режиме равна четырем вызовам в минуту. Найти вероятность поступления не более чем трех вызовов в интервале между ровно десятью и десятью и одной минутой часов.
-
Руководитель фирмы решил проверить работу своих служащих и дал указание сообщать ему каждый день, сколько заказов в этот день не было выполнено вовремя. Через 120 дней он обнаружил, что в среднем ежедневно не выполнялось шесть заказов. Обозначим через X число заказов, не выполненных в срок, и будем считать, что X = 0,1,2... Предположим также, что Х является случайной величиной, распределенной по закону Пуассона. Какова вероятность того, что в какой-то день не будет выполнено 6 или более заказов?
-
Функция распределения годовых доходов лиц, облагаемых налогом, построенная по многолетним статистическим данным, имеет вид:
, если и F(x) = 0, если x ,
где 0, 0 – известные параметры. Определить плотность распределения и критический размер годового дохода, который для случайно выбранного налогоплательщика может быть превзойден с вероятностью 0,5.
-
Среднее время обслуживания пациента врачом 12 минут. Чему равна вероятность ожидания в очереди пациентом от 24 до 36 минут?
-
Пусть известно, что вес рыбы (в кг) распределен нормально N (2; 0,4). Определить (не прибегая к помощи таблиц) вероятность того, что вес выловленной рыбы будет: а) меньше 0,09 кг; б) больше 4 кг.
-
Средний процент выполнения плана некоторыми предприятиями составляет 102%, среднее квадратическое отклонение 9%. Полагая, что выполнение плана этой группой предприятий подчиняется нормальному закону, определить процент предприятий: а) не выполняющих план; б) выполняющих план от 101% до 115%.
-
Найти плотность вероятности и функцию распределения времени ожидания поезда метрополитена, зная, что оно равномерно распределено в интервале (0;3)мин. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
-
Время ожидания троллейбуса пассажиром распределено равномерно с М(X)=3 мин. и D(X)=3 мин.
а) Найти плотность распределения и функцию распределения времени ожидания.
б) Найти вероятность того, что время ожидания не превысит 4 минуты