2.3.2. Вероятность суммы событий.

Сформулируем и докажем правило вычисления вероятности суммы двух событий A и B.

Для этого разобьем каждое из множества элементарных событий, составляющих события A и B на две части: ; , где

объединяет все элементарные события , входящие только в A и B, а C состоит из всех тех элементарных событий, которые одновременно входят и в A, и в B, ò. å. С = AB.

Пользуясь определением вероятности и свойством 4, имеем:

P(A),

.

В то же время (свойство 4)

.

Последнее равенство известно, как теорема сложения вероятностей двух совместных событий. Для несовместных P(C)=0, поэтому P(A+B) = P(A) + P(B)

Пример 1. В некоторой игре можно выиграть или вещь, или деньги. Тогда пространство элементарных событий где ={вещь}, ={деньги}, ={проигрыш}. Пусть А={выиграть вещь}, B={выиграть деньги}, P(A) = 0,4; P(B) = 0,2; C ={выигрыш}=

P(A+B) = P(A) + P(B) = 0,6.

Пример 2. Банк «А» может обанкротиться с вероятностью 0,05, а банк «B» – с вероятностью 0,03 независимо от банка «А». Вычислить вероятность того, что хотя бы один банк обанкротится, если известно, что

P(C) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,05 + 0,03 – 0,0015 = 0,08 – 0,0015 = 0,0785.

Обобщение последней суммы на случай более чем двух слагаемых приводит к громоздким вычислениям, поэтому используется окольный путь для вычисления вероятности суммы совместных событий. Воспользуемся тем, что сумма «хотя бы одно событие» и противоположное ему «ни одного» является событием достоверным, а вероятность достоверного события равна единице. Тогда вероятность суммы произвольных событий равна разности между единицей и вероятностью произведения противоположных им событий. Пусть являются совместными событиями. Используем свойство событий

и запишем

.

.

Пример. Акционер имеет 4 акции. Пусть событие (i=1, 2, 3, 4) состоит в том, что i-ая акция обесценилась. Известно, что вероятности обесценивания акций равны соответственно 0,05 , 0,10 , 0,30 , 0,04 , а вероятность того, что одновременно не обесценятся все четыре акции равна 0,58. Найти вероятность того, что хотя бы одна акция обесценилась.

Решение: , ни одна акция не обесценится

,

.

Приведем сводную таблицу, которая содержит формулы для расчета (и численный пример) вероятности при независимых событиях A и B.

Событие	Вероятность	Пример P(A)=0,10; P(B)=0,01
Оба		P=0,001
Ни одного		P=0,999
Или А, или В, но не оба вместе		P=0,108
Или А, или В, или оба вместе		P=0,109
Ни А, ни В		P=0,891
Или оба, или ни одного		P=0,892
A, но не B		P=0,099

3. Условная вероятность и теорема умножения вероятностей.

Как отмечалось выше, говорить о вероятности P(A) имеет смысл только при осуществлении определенного случайного эксперимента. При изменении условий эксперимента изменится и вероятность. Так, если к случайному эксперименту, при котором вычислялась вероятность P(A), добавить новое условие, состоящее в появлении события B, то получим другое значение вероятности события A, отличное от P(A).

Событие, состоящее в том, что произойдет событие B, когда известно, что произошло событие À, обозначим символом B/A. Соответствующая вероятность P(B/A) называется условной вероятностью события B при условии, что событие А произошло.

Пример. Колоду из 52 карт можно рассматривать, как пространство элементарных событий . Предположим, что из множества наугад выбрана одна карта и нам сообщили, что она красного цвета. Какова вероятность того, что выбранная карта есть король? Пусть событие K={карта красная}, а R={король}. Сокращенно такую ситуацию можно записать так: P(R/K) – вероятность события R при условии, что событие K произошло. После того, как мы получили информацию о том, что карта красного цвета, мы уже не находимся в исходном пространстве элементарных событий. Нашим новым пространством элементарных событий будет множество, содержащее только 52/2 = 26 карт. Так как среди этих 26 карт имеются ровно два «красных» короля, то P(R/K) = 2/26 = 1/13 0,07.

В этом рассуждении нам пришлось перейти к новому пространству элементарных событий.

Получим формулу для вычисления условной вероятности. Пусть пространство элементарных событий распадается на n равновозможных исходов,

из которых событию А благоприятствуют m исходов, а событию AB – r исходов. Тогда, если произошло событие А, то число всех равновозможных исходов сократилось до m, а число благоприятствующих исходов для наступления события В равно числу благоприятствующих для AB. Поэтому

, если .

Аналогично , , если .

Из этих формул получим формулу умножения вероятностей:

.

Это так называемая теорема умножения вероятностей: вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое произошло.

Событие А называется независимым от B, если его условная вероятность равна безусловной, т.е. P(A/B) = P(A). Тогда P(AB) = P(A)P(B).

Пример 1. А ={число очков делится на 3} при выпадении игральной кости, т.е. A = {}. B = {выпало четное число очков} = {}.

Тогда AB = {}. По формуле условий вероятности

.

, следовательно события A и B независимы.

Пример 2. Рассмотрим задачу из анализа решений (см. схему). Предположим, что фирма А собирается объявить конкурс на заключение выгодного контракта. Фирма B располагает достаточной информацией о фирме А для того, чтобы оценить минимально, максимально возможный и промежуточный объем контракта. Обозначим их цифрами I, II и III соответственно. По оценкам фирмы B, вероятность того, что А предложит минимально возможный контракт, равна P(I) = 0,2; а две другие вероятности равны P(II) = 0,5 и P(III) = 0,3. Со своей стороны фирма B может в данный момент участвовать только в одном конкурсе, поэтому она может в каждом из трех случаев легко оценить вероятность того, что ей удастся получить заказ. А именно по ее оценкам P(B/I) = 0,4; P(B/II) = 0,7; P(B/III) = 0,1. Располагая всеми этими данными, фирма B может теперь вычислить вероятность событий типа «А объявляет конкурс на контракт типа I и наша фирма его получает», т.е. вероятности P(I,B), P(II,B) и P(III,B). Вычислим их:

P(I,B) = P(I)P(B/I) = 0,20,4 = 0,08;

P(II,B) = 0,50,7 = 0,35;

P(III,B) = 0,30,1 = 0,03.

Сумма всех вероятностей должна быть равна единице.

Действительно, 0,08+0,12+0,35+0,15+0,03+0,27=1

Прагматическое правило. Всякое утверждение будет верным лишь с некоторой вероятностью, а с некоторой вероятностью оно может оказаться неверным. Можно высказать следующее прагматическое правило, которым руководствуются люди и которое соединяет теорию вероятностей с нашей деятельностью:

• Мы считаем практически достоверным событие, вероятность которого близка к единице.

• Мы считаем практически невозможным событие, вероятность которого близка к нулю.

Правило полезно тем, что дает возможность практически применять вероятностные выводы.

Иногда то же правило высказывают чуть по-другому: в однократном испытании маловероятное событие не происходит и наоборот обязательно происходит событие, вероятность которого близка к единице.

Какую вероятность следует считать малой? Нет количественного ответа, пригодного во всех случаях. Это зависит от конкретной задачи. Так, надежность технических устройств, например, тормозов автомобиля, требует большей вероятности, чем вероятность попасть под дождь, не взяв зонтика.

2.3.4. Формула полной вероятности.

Эта формула объединяет сложение и умножение вероятностей.

Рассмотрим пример. На двух предприятиях изготавливаются лампочки накаливания, соответственно 70% и 30% общей продукции. Испытания показали, что из 100 ламп первого предприятия 83 выдерживают установленный срок службы, а для второго предприятия – только 63. В среднем из 100 ламп 77 соответствуют указанному условию (830,70 + 630,3), т.е. вероятность купить такую лампу равна 0,77.

Предположим, что приобретена лампа первого предприятия. Тогда вероятность того, что она исправна, равна 0,83. Безусловная вероятность приобретения исправной лампы равна 0,77; условная вероятность (условие – изготовлена на первом предприятии) равна 0,83.

Ряд очень полезных формул можно вывести, разбивая некоторое исходное пространство элементарных событий на несколько частей и подразделяя затем каждую из этих частей еще на несколько подмножеств. Термин «разбиение» означает, что любая пара этих событий имеет нулевое пересечение.

Так, в рассмотренной ранее задаче, разбиваем все пространство произведенной продукции (100%) на две части () 70% и () 30%. Затем каждую часть делим на две и части: – годная продукция, произведенная на предприятии. – годная продукция, произведенная на предприятии . Тогда, вероятность купить годную лампу равна

= 0,70,83 + 0,30,63 = 0,77.

70% 30%

0,37

=0,63

0,17

=0,83

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из событий , , ..., , образующих полную систему, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А,

.

Доказательство.

Записанную формулу мы можем легко получить, вспомнив, что события , , ..., образуют полную систему, т.е. они единственно возможны и попарно несовместны. Событие А может появиться только с одним из несовместных событий , i=1, 2, ..., n, т.е.

.

События несовместны, что следует из несовместности событий, i=1, 2, ..., n.

.

Вычислим вероятность события А

.

Пример. Две машины на некоторой фирме производят соответственно 10% и 90% общей продукции некоторого вида. Предположим, что вероятность брака на 1-ой машине равна 0,001 , а на 2-ой 0,05. Чему равна вероятность события А = {изделие бракованное}?

Введем обозначения:

= {изделие произвела 1-ая машина}, 0,9 0,1

= {изделие произвела 2-ая машина}.

Событие А = A +A подразделяется на два несовместных события A , A. Поэтому

= 0,10,01 + 0,90,05 = 0,046.

Заштрихованная область – это и есть вероятность P(A) = 0,046