- •Авторы: Новротская Надежда Леонидовна, доцент
- •Рецензент: Хацкевич г.А., профессор
- •Часть I
- • Новротская н.Л.
- •Часть I
- •Тема 1. Введение.
- •§1.1. Предмет теории вероятностей.
- •§1.2. Общие правила комбинаторики.
- •§1.3. Вопросы для самопроверки.
- •§1.4. Задачи.
- •Тема 2. Случайные события и их вероятности.
- •§2.1. Случайные события и их классификация.
- •§2.2. Действия с событиями.
- •§2.3. Вероятностное пространство. Вероятности и правила действия с ними.
- •2.3.1. Определение вероятности события.
- •2.3.2. Вероятность суммы событий.
- •Условная вероятность и теорема умножения вероятностей.
- •2.3.5 Формула Байeса (английский математик 1702–1762 г.Г.)
- •§2.4. Модель независимых испытаний Бернулли.
- •2.4.1. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
- •§2.5. Вопросы для самопроверки.
- •§2.6. Задачи.
- •Тема 3. Случайные величины и их распределения.
- •§3.1. Виды случайных величин и их распределения.
- •§ 3.2. Плотность распределения вероятностей.
- •§ 3.3. Числовые характеристики распределения вероятностей и их свойства
- •3.3.2. Примеры использования математического ожидания.
- •Дисперсия случайной величины и ее свойства.
- •Моменты.
- •3.3.5. Характеристики формы распределения (асимметрия и эксцесс).
- •Квантили.
- •§ 3.4. Примеры распределений.
- •3.4.2. Распределение Пуассона.
- •3.4.3. Гипергеометрическое распределение.
- •3.4.6. Нормальное распределение.
- •3.4.7. Показательное (экспоненциальное) распределение.
- •§ 3.5. Вопросы для самопроверки.
- •§ 3.6. Задачи.
3.3.2. Примеры использования математического ожидания.
Рассмотрим примеры использования математического ожидания на практике для принятия решения в условиях неопределенности.
Пример 1. Анализ имеющихся альтернатив и действий в условиях неопределенности с финансовой точки зрения можно проводить в терминах прибылей и убытков или упущенных возможностей. Рассмотрим задачу, в которой речь идет о возможной прибыли. Представим себе инвестора, владеющего облигациями на сумму 20 000 $. Эти облигации приносят доход 1 200 $/год. В некоторый момент он получил информацию о том, что курс акций на бирже должен повыситься, и ему предстоит принять решение, сохранить ли свои облигации или перевести их в акции.
Будучи знакомым с фирмой, акции которой он думает купить, инвестор считает, что не может получить больше 20% прибыли со своей суммы 20000 $ и не может потерпеть убытки больше чем на 2%. Чтобы проанализировать всю ситуацию более подробно, он перечислил возможные значения Х дохода и приписал каждому значению определенную вероятность, т.е. задал распределение вероятностей дохода с помощью таблицы.
X$ |
4000 |
3600 |
3200 |
2800 |
2400 |
2000 |
P(x=) |
0,0005 |
0,0054 |
0,0269 |
0,0806 |
0,1611 |
0,2256 |
|
|
|
|
|
|
|
X$ |
1600 |
1200 |
800 |
400 |
0 |
-400 |
P(x=) |
0,2256 |
0,1611 |
0,0806 |
0,0269 |
0,0055 |
0,0004 |
Вычислим ожидаемую прибыль
$/год и сравним это значение со своим доходом в 1200 $/год.
Означает ли это, что инвестору стоит переключиться с облигаций на акции? Он должен понимать, ожидаемый доход в 1800 $/год есть величина, имеющая смысл для большого числа испытаний. При однократном испытании он может получить любое значение дохода Х, указанное в таблице. Поэтому несмотря на то, что , вполне возможно, что инвестор не будет продавать свои облигации.
Пример 2. Пусть лотерейные билеты продаются по 2 $ за штуку, и по ним можно выиграть автомобиль, который стоит 4000 $. Общее число лотерейных билетов равно 8000 и предполагается, что все они будут проданы.
Распределение вероятностей имеет вид:
Возможный исход |
Событие |
Вероятность P() |
Выигрыш на один билет |
1/8000 |
|
Проигрыш |
7999/8000 |
Таблица 1. 4000 0 -2 0
Таблица 2. 0 4000 2 0
Ожидаемая прибыль () равна
;
.
Ожидаемые потери от не использования благоприятных возможностей равны
;
.
Отсюда видно, что максимальное значение ожидаемой прибыли равно нулю, а минимальная ожидаемая потеря равна 0,50. Если бы все предполагаемые покупатели лотерейных билетов рассуждали в терминах ожидаемой прибыли и потерь, то лотереи перестали бы существовать. Однако большое число людей не интересуются вероятностью и/или ожидаемой прибылью. Они видят разницу лишь между 4000 $ и 2 $ и понимают, что могут купить лотерейный билет. И все же есть люди, которые рассуждают в терминах вероятностей или возможной прибыли и потерь. В противном случае мы были бы завалены всякого рода лотерейными билетами.
Пример 3. Эта задача касается двух бизнесменов: А и В. В занимается разведкой нефтяных месторождений за границей и просит А предоставить заем в 20 000 $. Он предлагает выплатить этот заем через год плюс 25% этой суммы, т.е. 5000 $.В настоящее время А зарабатывает на этом капитале 1000 $ в год, так что для него это означало бы условную прибыль в 4000 $. Кроме того , В согласен передать А в качестве гарантий займа некоторое имущество, стоимость которого составляет 10 000 $. Бизнесмен А имеет следующие альтернативы:
-
«дать заем бизнесмену В и считать, что предприятие последнего окажется успешным» (тогда бизнесмен А заработает 4000 $).
-
«одолжить деньги и считать, что В потерпит неудачу и станет банкротом» (в этом случае А потеряет 10 000$).
Определим вероятности событий:
= {успех}, = {неудача}: P() = 0,8; P() = 0,2.
Возможные действия: – дать заем, – не давать займа, приведены в
таблице:
4000 |
0 |
|
-10000 |
0 |
Числа в каждой клетке соответствуют условным значениям прибыли.
Ожидаемая прибыль: 4000 0,8 – 10000 0,2 = 1200;
0 0,8 + 0 0,2 = 0.
Условные потери от использования благоприятной возможность приведены в таблице:
0 |
4000 |
|
10000 |
0 |
Ожидаемые потери от не использования благоприятной возможности:
0 0,8 + 10000 0,2=2000;
4000 0,8 – 0 0=3200.
Итак, ожидаемая прибыль составляет 1200 $, и это говорит о том, чтобы серьезно отнестись к предложению В о займе в сумме 20 000 $.
Пример 4. Директор по сбыту издательства, выпускающего воскресную газету, заметил, что значительное число экземпляров газеты иногда оказывается непроданными. Производство каждой лишней газеты обходится в 6 центов. В тех же случаях, когда спрос превышает предложение, издательство теряет возможность заработать 4 цента.
Чтобы получить более точные сведения, директор провел эксперимент: в течение 52 воскресных дней предложение всегда обеспечивало спрос. Данные приведены в таблице:
Число проданных газет, |
Число воскресных дней |
|
|
P() |
|
23 |
6 |
0,12 |
24 |
12 |
0,23 |
25 |
16 |
0,31 |
26 |
11 |
0,21 |
27 |
7 |
0,13 |
Всего |
52 |
1,00 |
Примечание. – частота, P()– вероятность.
Следующий этап заключается в составлении таблицы возможных доходов. Обозначим через – величину спроса, – выпуск того или иного числа газет. Прибыль P = 4 цента за газету. Убыток L = 6 центов за газету. Общий объем прибыли при некоторых фиксированных и составляет 4Q при и 4 – 6( – ) = 10 – 6 при .
Например, при i = 2, j = 3 получим доход в сумме 1024 – 625 = 90 (элемент таблицы).
Таблица возможных доходов
|
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
23 |
92 |
86 |
80 |
74 |
68 |
24 |
92 |
96 |
90 |
84 |
78 |
25 |
92 |
96 |
100 |
94 |
88 |
26 |
92 |
96 |
100 |
104 |
98 |
27 |
92 |
96 |
100 |
104 |
108 |
Определим ожидаемую прибыль для одного значения по формуле
M() = , j = 1,2,3,4,5.
Тогда ожидаемая прибыль для всех приведена в таблице
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
|
M() |
92,0 |
94,8 |
95,3 |
92,7 |
88,0 |
Наибольшее значение ожидаемой прибыли равно 95,3, которое соответствует = 25. Это означает , что оптимальный выпуск газет равен 25000. Так как , то следует предполагать, что 34% воскресных дней не будут обеспечены газетами полностью. В некоторых районах такая нехватка может побудить читателей начать покупать другую газету. Это приведет к дополнительным потерям, которые тоже следует оценить, а это не всегда является легкой задачей. В подавляющем большинстве случаев задачу удобно проанализировать в терминах потерь от не использования благоприятных возможностей так, как это было выполнено в примерах 2,3.