6. Квантили.

Для случайных величин, принимающих вещественное значение, часто используются такие характеристики, как квантили.

Функция распределения случайной величины любой точке ставит в соответствие вероятность P = F() = P(X  )

1

Х

Иногда возникает обратная задача: по заданному значению вероятности p найти такое значение , чтобы выполнялось равенство F() = p.

Определение. Квантилью случайной величины Х, имеющей функцию распределения F(x), называется решение уравнения F() = p,

0  p  1.

Величину часто называют р – квантилью или квантилью уровня р распределения F(x). Среди квантилей чаще всего используются медиана и квартили распределения.

Медианой называется квантиль, соответствующая значению. Нижней квартилью называется квантиль, соответствующая значению Верхней квартилью называется квантиль, соответствующая значению

В описательной статистике нередко используются децили, т.е. квантили уровней 0,1; 0,2; 0,3; ...; 0,9. Значения децилей позволяют неплохо представить поведение графика y = F(x) в целом.

Отметим, что уравнение F() = p, определяющее р – квантили, для некоторых значений р может не иметь решений или иметь неединственное решение. Для соответствующей случайной величины это означает, что некоторые р – квантили не существуют, а некоторые определены неоднозначно.

Критической точкой порядка р (симметричной критической точкой величины р) распределения непрерывной случайной величины Х называется действительное число , удовлетворяющее уравнению

.

Квантиль и критическая точка одного и того же распределения связаны соотношением

§ 3.4. Примеры распределений.

Изучая случайные величины, естественно поставить вопрос. А подчиняются ли каким-то законам явления, носящие случайный характер? Ответ положительный, но только они отличаются от привычных нам физических законов, так как значения случайных величин невозможно предсказать даже при полностью известных условиях эксперимента, в котором они измеряются (наблюдаются). Мы можем указать лишь вероятность того, что случайная величина примет то или иное значение или попадет в то или иное множество. Зато, зная распределение вероятностей интересующих нас случайных величин, мы можем делать выводы о событиях, в которых участвуют эти случайные величины. Однако эти выводы будут также носить вероятностный характер.

Среди множества распределений, известных науке, есть такие, которые используются на практике особенно часто. Многие из этих распределений лежат в основе целых областей знания – таких, как теория массового обслуживания, контроль качества продукции, теория надежности, теория принятия решений, теория игр и т.д.

3.4.1. Биноминальное распределение.

Биноминальное распределение – это одно из самых распространенных дискретных распределений, оно служит вероятностной моделью для многих явлений. Оно возникает в тех случаях, когда нас интересует, сколько раз происходит некоторое событие в серии из определенного числа независимых наблюдений (опытов), выполняемых в одинаковых условиях (см. Схема Бернулли).

Например, если рассматривать массовое производство, то в нормальных условиях технологический процесс производства математически представляется схемой испытаний Бернулли.

Для контроля технологического процесса необходимо подсчитать число дефектных изделий. При массовом производстве сплошная проверка качества изготовленных изделий неоправданна (связана часто с большими затратами времени и средств). Поэтому из произведенной продукции случайным способом отбирают определенное количество изделий n и проверяют их, регистрируют найденное число бракованных изделий Х и в зависимости от значения Х принимают решение о состоянии производственного процесса. Теоретически Х может принимать любые целые значения от 0 до n включительно, но, конечно вероятности этих значений различны. Для того, чтобы решения, принимаемые по значению Х, были обоснованными, требуется знать распределение случайной величины Х. Ранее (см. Тема 2, §4), была получена формула Бернулли, по которой вычисляется вероятность события (X = k), k = 0, 1, 2, ..., n, т.е.

P(X = k) = .

Параметр р обычно называют вероятностью «успеха» в испытании Бернулли. В нашей задаче «успех» соответствует обнаружению дефектного изделия, q =1– p.

Определение. Случайная величина Х имеет биноминальное распределение с параметрами n и p, если она принимает значения 0, 1, 2, ..., n с вероятностями

P(X = k) = , k = 0, 1, 2, ..., n.

Свойства. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, имеющей биноминальное распределение. Введем для каждого отдельного испытания Бернулли случайную величину Х, которая может принимать только два значения: 1, если испытание закончилось успехом, и 0 – если неудачей. Присвоим номера 1, 2, ... отдельным испытаниям, тогда эти же номера надо присвоить и соответствующим величинам X:, ,... Тогда Х можно представить в виде

,

причем случайные слагаемые в данной формуле независимы и одинаково распределены. Для любого k от 0 до n выполняется условие (см. 3.1 и 3.2. примеры)

, ,

Тогда ,

.

Связь биноминального распределения с другими распределениями см. п.3.4.8.

Область применения: проверка на надежность изделий в массовом производстве, контроль технологического процесса, описание функционирования систем массового обслуживания, выборочные обследования и т.д.

Пример. Пусть в партии готовой продукции 2/3 изделий высшего сорта. Производится выборка из 5 изделий. Построить закон распределения случайной величины Х – числа изделий высшего сорта среди отобранных.

Решение. Из условия задачи известно, что p = 2/3, q = 1 – 2/3 = 1/3, n = 5.

Случайная величина Х принимает значения с вероятностями, которые вычисляются по формуле Бернулли

.

Запишем результат в таблицу

Х	0	1	2	3	4	5
	0,0041	0,0412	0,1646	0,3292	0,3292	0,1317

Для контроля вычислим сумму вероятностей

0,0041+0,0412+0,1646+2·0,3292+0,1317=1.