- •VII. Неустановившаяся фильтрация упругой жидкости в упругой пористой среде
- •Упругий режим пласта и его характерные особенности
- •Дифференциальное уравнение упругого режима фильтрации
- •Точное решение задачи притока упругой жидкости к прямолинейной галерее
- •По правилу дифференцирования сложных функций находим
- •Тогда дебит будет равен
- •Плоско-радиальный фильтрационный поток упругой жидкости; основная формула теории упругого режима
- •5. Принцип суперпозиции в задачах упругого режима
- •6. Определение коллекторских свойств пласта по данным исследования скважин при упругом режиме.
- •7. Приближенные методы решения задач теории упругого режима
- •Метод последовательной смены стационарных состояний (пссс)
- •Метод а.М. Пирвердяна
- •Метод интегральных соотношений
7. Приближенные методы решения задач теории упругого режима
Решение различных краевых задач неустановившейся фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде в условиях как бесконечного, так и конечного пластов часто представляются громоздкими формулами в виде бесконечного медленно сходящегося ряда или несобственного интеграла, содержащего специальные функции. В связи с этим были предприняты поиски приближенных эффективных решений задач неустановившейся фильтрации. Отметим лишь характерные особенности некоторых из разработанных приближенных методов, применяемых при решении задач упругого режима.
-
Метод последовательной смены стационарных состояний (пссс)
Одним из наиболее простых по идее приближенных методов решения задач неустановившейся фильтрации является метод последовательной смены стационарных состояний (ПССС), развитый И.А. Чарным и широко применяемый в практических расчетах. Метод основан на предположении, что давление в пласте изменяется во времени значительно медленнее, чем по координатам. Поэтому в основном уравнении упругого режима фильтрации (7.10) производную по времени можно в первом приближении отбросить, в результате чего для давления получается уравнение Лапласа, описывающее стационарный процесс. В этом случае в каждый момент времени вся область движения жидкости, в действительности охватывающая весь пласт, условно разделяется на две области: возмущенную и невозмущенную. При этом предполагается, что в возмущенной области, начинающейся от стенки скважины, давление распространяется так, как будто бы движение жидкости в ней установившееся; внешняя граница этой области служит контуром питания.
В невозмущенной области пласта давление всюду постоянно и равно начальному статическому. Закон движения подвижной границы раздела возмущенной и невозмущенной областей определяется при помощи уравнения материального баланса и граничных условий.
Рассмотрим схематично применение метода ПССС для случаев плоскопараллельного и плоско-радиального потоков упругой жидкости.
Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток.
Рассмотрим полубесконечный горизонтальный пласт во всей области которого первоначально существовало постоянное давление Рк. В начальный момент времени (t=0) в сечении Х=0 пласта толщиной h и шириной В давление внезапно снизилось и стало равным Рг= const. К некоторому моменту времени t0 после пуска галереи граница возмущенной области распространилась на длину . (Рис.51) .
Рис.51
Распределение давления в возмущенной зоне принимается установившимся
, (7.52)
т.е. эпюра давлений Р(x) представляет собой прямую линию, перемещающуюся вдоль пласта с угловой точкой x=. Заметим, что в точном решении этой задачи эпюра давлений угловой точки не имеет.
Рассматривая массу жидкости, отобранной за счет ее упругости из возмущенной области пласта , ее массовый расход, выраженный по закону Дарси, получаем дифференциальное уравнение для границы возмущенной зоны пласта, интегрирование которого дает закон движения этой границы:
. (7.53)
Тогда закон распределения давления в возмущенной зоне пласта (7.52) принимает вид
,
или
; (7.54)
где 0 < x 2;
а при x > , .
Нетрудно определить дебит галереи:
. (7.55)
Погрешность расчета дебита галереи по приближенной формуле (7.55) по сравнению с расчетами по точной формуле (7.24) не превосходит 11%.
Плоско-радиальный фильтрационный поток.
Рассмотрим плоско-радиальный приток упругой жидкости к скважине радиуса rc из неограниченного горизонтального пласта постоянной толщины h (рис.52); скважина работает с постоянным дебитом Q; первоначально давление во всем пласте было одинаковым и равным Рк.
Рис. 52
После пуска скважины в работу вокруг нее образуется воронка депрессии, которая теоретически охватывает весь пласт. Приближение в решении задачи заключается в том, что мы последовательно во времени фиксируем радиус воронки депрессии, т.е. в каждый момент времени радиус воронки R(t) принимается как конечная величина. При этом кривая распределения давления аппроксимируется логарифмической кривой, т.е.
. (7.56)
При этом дебит скважины будет описываться формулой, аналогичной формуле Дюпюи:
. (7.57)
Размер возмущенной области R(t) также находится из рассмотрения уравнения материального баланса для упругой жидкости, отобранной из этой области пласта. В итоге закон движения границы R(t) возмущенной зоны пласта имеет вид:
. (7.58)
Тогда из равенства (7.56) находится давление в любой точке пласта в любой момент времени t:
, (7.59)
где ,
а при
Депрессия на скважине (r = rC) в момент t будет:
(7.60)
Сравнивая (7.60) с депрессией, определенной по точной формуле (7.39), убеждаемся, что относительная погрешность уменьшается с течением времени и составляет:
10,6 % , если ;
7,5 %, если ;
5,7 %, если .