- •VII. Неустановившаяся фильтрация упругой жидкости в упругой пористой среде
- •Упругий режим пласта и его характерные особенности
- •Дифференциальное уравнение упругого режима фильтрации
- •Точное решение задачи притока упругой жидкости к прямолинейной галерее
- •По правилу дифференцирования сложных функций находим
- •Тогда дебит будет равен
- •Плоско-радиальный фильтрационный поток упругой жидкости; основная формула теории упругого режима
- •5. Принцип суперпозиции в задачах упругого режима
- •6. Определение коллекторских свойств пласта по данным исследования скважин при упругом режиме.
- •7. Приближенные методы решения задач теории упругого режима
- •Метод последовательной смены стационарных состояний (пссс)
- •Метод а.М. Пирвердяна
- •Метод интегральных соотношений
-
Точное решение задачи притока упругой жидкости к прямолинейной галерее
За прямолинейную галерею можно принять любую прямолинейную изобару. Пусть в начальный момент t=0 первоначальное пластовое давление всюду было одинаковым и равно РК. На галерее (х=0) мгновенно упало до величины РГ и в дальнейшем поддерживается постоянным. При этом в пласте сразу же происходит перераспределение давления. В удаленных точках (х) давление в любой момент времени остается постоянным и равным РК.
Найдем функцию распределения давления Р=Р(х,t). Для этого надо решить уравнение (7.10), которое для рассматриваемого прямолинейно-параллельного потока имеет вид
, (7.11)
Начальные и граничные условия при этом будут следующими:
при t = 0 P(x,0)=PK;
при х = 0 Р(0,t) = PГ = const; (7.12)
при х = Р(,t) = PK = const.
Используя анализ размерностей, можно показать, что поставленная задача автомодельна, т.е. из аргументов, от которых зависит давление, можно составить один (безразмерный) комплекс. Обозначим через безразмерное давление.
, которое, как это видно из (7.11) и (7.12), зависит от времени t, координаты х и коэффициента пьезопроводности , т.е.
Р=f (x,t, ).
Размерности этих аргументов таковы:
; ; .
Из этих параметров (х,t, ) можно составить один безразмерный комплекс /.
Принимая за новую переменную величину , задача сводится к нахождению безразмерного . При этом условия (7.12) переходят к виду:
при
U=0
при
U=
В силу линейности дифференциального уравнения (7.11) для функции имеем такое же уравнение
. (7.14)
По правилу дифференцирования сложных функций находим
;
;
.
Подставляя найденные значения производных в уравнение (7.14), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
, (7.15)
которое должно быть проинтегрировано по условиям (7.13)
Для решения (7.15) обозначим , тогда урвнение (7.15) принимает вид
. (7.20)
Разделяя переменные в (7.20) и интегрируя, получаем
, (7.21)
где С1 – постоянная интегрирования.
Интегрируя (7.21), будем иметь
- по первому условию из (7.13).
Второе условие из (7.13) дает
.
Из интегрального исчисления известно, что
- интеграл Пуассона;
поэтому , а . (7.22)
Интеграл в (7.22) называется интегралом вероятности и является табулированной функцией, изменяющейся в пределах от 0 до 1:
- интеграл вероятности или функция
Крампа (график функции представлен на рис.42)
Рис. 42
Таким образом
.
Тогда закон распределения давления в неустановившемся прямолинейно-параллельном потоке упругой жидкости имеет вид
. (7.23)
Зная х и t, определяем значение , а затем из таблиц или из графика находим и находим по формуле (7.23) значение давления Р.
Р аспределение давления Р(х,t) показано на рис.43.
Рис. 43
Найдем дебит Q галереи.
Будем считать положительным дебит, отбираемый из галереи (х=0), когда поток движется против оси х.
Согласно закону Дарси, имеем
,
где В, h – соответственно ширина и толщина пласта.
Дифференцируя выражение (7.23), получаем
.