VI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ОДНОРОДНОЙ

СЖИМАЕМОЙ (УПРУГОЙ) ЖИДКОСТИ И ГАЗА

1. Дифференциальные уравнения установившейся фильтрации

упругой жидкости и газа по закону Дарси

Составим дифференциальное уравнение фильтрации однородного сжимаемого флюида в однородной пористой среде на основе уравнения неразрывности потока (2.11)

(6.1)

и уравнений движения (2.4)

, , , (6.2)

т.е. считаем фильтрацию сжимаемого флюида =(Р) по закону Дарси, процесс изотермический (Т=const), при этом вязкость флюида и проницаемость зависят от давления , т.е. =(Р) и k=k(Р).

Введем обобщенную функцию давления следующим образом. Примем, что ее дифференциал

, (6.3)

тогда

(6.4.)

будем называть обобщенной функцией Лейбензона.

Так как функция и давление Р зависят от координат и времени, то равенство (6.3) можно записать в следующем развернутом виде, используя понятие полного дифференциала функции от многих переменных:

.

Из сравнения коэффициентов при dx, dy, dz, dt получаем

; ; ;

. (6.5)

Запишем выражения для массовых скоростей фильтрации с использованием (6.5)

; ;

. (6.6)

Далее, подставив (6.6) в уравнение неразрывности (6.1). Получим

(6.7)

или (6.8)

• это и есть дифференциальное уравнение неустановившегося движения однородного флюида в однородной пористой среде по закону Дарси.

В случае установившейся фильтрации и уравнение (6.7) принимает вид

, (6.9)

или , (6.10)

т.е. при установившейся фильтрации обобщенная функция Лейбензона удовлетворяет уравнению Лапласа.

2. Аналогия установившейся фильтрации сжимаемого флюида с фильтрацией несжимаемой жидкости

Введение функции Лейбензона в уравнения позволяет установить аналогию между установившейся фильтрацией сжимаемого флюида и установившейся фильтрацией несжимаемой жидкости.

В дальнейшем принимаем, что проницаемость среды и динамический коэффициент вязкости флюида постоянны, т.е. k=const и =const, а плотность флюида =(Р). Тогда можно ввести функцию Лейбензона как

, (6.11)

при этом . (6.12)

Запишем закон Дарси для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости в дифференциальной форме (1.15) через расход

, (6.13)

где Q=const; (S) - площадь поперечного сечения струйки.

При установившейся фильтрации сжимаемого флюида по всей длине струйки массовый расход сохраняется постоянным:

Q_m= Q = const.

Умножив обе части равенства (6.13) на плотность флюида (Р) и используя соотношение (6.12), имеем

, Q_m =const. (6.14)

Легко видеть, что выражения (6.13) и (6.14) являются однотипными дифференциальными уравнениями, в которых объемному расходу Q несжимаемой жидкости соответствует массовый расход Q_m сжимаемого флюида, а давлению в уравнении (6.13) соответствует функция Лейбензона в уравнении (6.14).

Уравнения движения (6.2) для несжимаемой жидкости связывают скорость фильтрации V с давлением Р, а для сжимаемого флюида – массовую скорость фильтрации c функцией Лейбензона в уравнениях (6.6).

Отсюда вывод (аналогия): все формулы, полученные для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси, можно использовать и для установившейся фильтрации сжимаемого флюида в пластах той же геометрии и при тех же граничных условиях, заменив соответствующие параметры:

Несжимаемая жидкость	Сжимаемый флюид
Объемный расход – Q Давление - Р Объемная скорость фильтрации - V	Массовый расход - Qm Функция Лейбензона - Массовая скорость фильтрации -

При этом помним, что при фильтрации сжимаемого флюида под давлением Р понимается абсолютное давление.

3. Установившаяся фильтрация упругой жидкости

Прежде всего найдем выражение функции Лейбензона для упругой (слабосжимаемой) жидкости, описываемой уравнением состояния (2.14):

. (6.15)

Если , то можно взять уравнения состояния упругой жидкости в виде (2.15). Тогда из (6.15) получаем следующее выражение для функции Лейбензона

. (6.16)

Подставив (6.16) в дифференциальное уравнение (6.9), получим

. (6.17)

Как следует из выражения (6.17), при установившейся фильтрации упругой жидкости плотность можно считать постоянной, поэтому при решении практических задач с установившейся фильтрацией упругой жидкости можно пользоваться формулами для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости. Однако в случае фильтрации упругой жидкости в пласте с очень высоким пластовым давлением и при большой депрессии, следует использовать функцию Лейбензона (6.15), поскольку возможны большие погрешности.