4.1.1Б. Взаимно-однозначное соответствие и сравнение численности множеств

У мальчика Пети есть некоторое количество игрушечных легковых автомобилей, а у мальчика Саши — некоторое количество грузовых игрушечных автомобилей. Им нужно сравнить, у кого из них автомобилей больше, но считать они не умеют.

Решить эту проблему они могут, например, выставляя поочередно напротив каждого автомобиля Пети автомобиль Саши.

На рисунке эти автомобили условно обозначены квадратами и треугольниками, Если этот процесс заканчивается, и у Пети остались автомобили, то их у Пети было больше; если лишние остались у Саши — то у Саши автомобилей больше. Множества легковых и грузовых автомобилей, изображенных на рисунке, находятся во взаимно однозначном соответствии. На рисунок можно смотреть как на граф взаимно однозначного соответствия.

Дадим точное определение взаимно однозначного соответствия.

Определение. Соответствие между элементами множеств X и Y называется взаимно однозначным, если это соответствие является отображением и выполнены следующие два условия:

1) Любым двум различным элементам множества X соответствуют различные элементы множества y;

2) Любому элементу множества y соответствует хотя бы один элемент множества X. Связь понятия взаимно однозначное соответствие с практикой школьного обучения.

ЗАДАНИЯ НА СРАВНЕНИЕ ГРУПП ПРЕДМЕТОВ (БЕЗ ПЕРЕСЧЕТА)

1. Ориентировка:

Ориентировочная часть ориентировки:
Материал взят из учебника-тетради Б.П. Гейдман и др. «Математика» 1 класс.
Ориентировочная часть ориентировки (Другой вариант)
Материал взят из учебника-тетради М.И. Моро и др. авторов, «Математика»1 класс;1999г.

Задание1 (для студентов). Сравнив различные варианты организации начального этапа ориентировки, обсудим достоинства и недостатки каждого варианта предлагаемых картинок и текстов к ним.

Задание2. В этом задании формулировка изменена так, чтобы упражнение можно было применить на исполнительном этапе:

На рисунке изображены стайки птиц: утята, гусята и цыплята. А) Покажи, как можно не считая, узнать, каких птиц на рисунке больше всего. Б) Стаю с самым большим числом птиц обведи линией.

Задание3. Можно тот же самый рисунок использовать на этапе контроля усвоения темы? Подумайте, какой тогда должна стать формулировка задания.

Задание4. Первоначально формулировка этой задачи была иной: "Обведи птичек, которых больше всего. Каких птиц ты обвел? Почему?". В таком виде это задание для организации усвоения темы "Установление взаимно-однозначного соответствия; сравнение (по количеству) групп предметов /без пересчета/" вообще нельзя было использовать. Почему? (Перечислите все недостатки формулировки задания).

Задание5. Посмотрим на следующие рисунки и попробуем совместно составить текст заданий к ним.

Исполнительная часть ориентировки:

Материал взят из учебника-тетради М.И. Моро и др. авторов, «Математика»1 класс;1999г.

А вот как сформулировано подобное задание в рабочей тетради того же комплекта:

[М.И. Моро, С.И. Волкова "Математика", 1 класс; 2009г.]

Иногда равномощность сравнительно больших по численности групп "неупорядоченно расположенных" предметов можно установить, не прибегая к пересчету, если сами группы расположены так, что взаимно однозначное соответствие между ними легко устанавливается "на глаз".

Например, на этом рисунке не нужно пересчитывать предметы, чтобы установить, что количество пингвинов и число шапочек на рисунке равны:

Учитель оговаривает, что в подобных случаях для обоснования своего мнения не требуется проводить соединительные линии (и составлять, таким образом, пары предметов). Достаточно сказать следующее:

Если численность групп равна	- "у каждого… есть…"
Если численность данной группы меньше чем, другой	- "…не хватает"
Если предметов в данной группе больше чем, в другой	- "есть (остались) лишние…"

Разумеется, чтобы детям было легко воспринимать объяснение учителя, этот текст проговаривается на примере конкретного рисунка или, например, при иллюстрировании ситуаций с помощью изображений предметов на фланелеграфе или магнитной доске .

Еще бывает достаточно просто "увидеть", равны ли группы по количеству предметов, или в одной из них предметов больше, чем в другой, если предметов в группе немного – менее семи.

Пример 1.

Рисунок из учебника [И.И. Аргинская, Е.П. Бененсон, Л.С. Итина «Математика»,1 класс].

Важно, правда, понимать, что постановка первого вопроса в приведенном примере задания слишком общая (либо неудачен выбор материала для сравнения). Общего "у рисунков" много: изображены предметы, неживые, все иллюстрации цветные, размер изображений одинаковый… Лучше было бы сформулировать вопрос иначе. Например, так: "Что можно сказать о количестве предметов в каждой группе?".

Пример 2. Текст задания: Сравните множества и расставьте в кружках знаки >,<,= .

Очень важно обсудить, каким способом человек, который "видит", равны ли группы или не равны, может ДОКАЗАТЬ свою точку зрения, если предъявляется такое требование. Возможно, дети уже могут догадаться, что для этого вновь необходимо прибегнуть к соединению предметов из разных групп попарно:

• если группы изображены на рисунке – то соединить линиями,

• а если речь идет о реальных предметах, то их можно расположить их попарно;

и тогда либо каждый предмет получит свою "пару" из другой группы/множества/, или в одной из групп останутся "лишние" предметы, и им "не хватит" пары из другой группы.

Учителю важно также иметь ввиду, что некоторые дети еще "путают" понятия больше и меньше, если предметы в группах явно отличаются размером. Такой ребенок может назвать группу "большой" только потому, что она состоит из больших по размеру предметов, "выглядит" большей.

Такие ошибки исправляются так.

• Во-первых, необходимо проговорить, в чем состояла ошибка: что надо различать задания, где надо сравнить РАЗМЕР (то есть большие предметы или маленькие) и КОЛИЧЕСТВО (то есть много предметов или мало). Особенно внимательно надо слушать вопросы со словами "больше"/"меньше": "Где предметы больше?" (сравнивается размер) или "Где предметов больше?" (сравнивается количество).

• Во-вторых, напомнить, что если группы сравниваются по количеству, то есть по числу предметов, то надо составлять пары, проверяя свою точку зрения.

Но таких учеников среди первоклассников обычно не бывает слишком много. Подобные затруднения полезно выявлять еще на этапе приема в школу, и брать таких детей на заметку. Кроме того, важно установить истинную причину трудностей. Вероятно, для некоторых детей основной причиной затруднений является не столько математический аспект проблемы, сколько речевой. Согласитесь, детям с ослабленным слухом (с физической точки зрения либо с фонематическими проблемами) совсем непросто различить фразы "Где предметы больше?" и "Где предметов больше?".

В зависимости от выявленных причин и должна быть организована коррекционная работа индивидуально или с небольшой группой учащихся.

Все "специфические" (частные) случаи обязательно должны быть рассмотрены на этапе ориентировки. Но получается, что тогда будет трудно удержать внимание детей: слишком много случаев нужно рассматривать, слишком много будет говорить учитель, а дети этого возраста не способны так долго удерживать внимание /и, по сути, "бездействовать"/.

Но ведь, как говорилось, каждый этап усвоения умственного действия сам состоит из трех частей – ориентировочной, исполнительной и контрольной. Так почему бы не организовать исполнительную часть ориентировки после каждой вновь вводимой порции информации? Заметим, что с контрольной частью ориентировки все обстоит проще. Контроль обеспечивается проверкой с помощью средств обратной связи согласия/несогласия всех учащихся с правильностью выполнения задания с тем, кто выполняет данное задания (Это, кстати, может быть и учитель, который "вдруг" начинает "ошибаться").

Задание5. На этапе ориентировки должны быть рассмотрены три типа ситуаций, в которых необходимо сравнить группы по количеству (и при этом дети могут получить только два возможных решения: прийти к выводу, что группы равны по количеству предметов, либо, что одна группа по количеству предметов больше, чем другая). Учитывая это, составьте подборки задач для исполнительской и контрольной частей ориентировки, соответствующие каждому из перечисленных случаев, выбирая нужные из следующих заданий.

Задание6. В случаях, когда формулировка задания не подходит для ориентировочного этапа, ответьте на 2 вопроса:

а) на каком этапе усвоения темы " Установление взаимно-однозначного соответствия; сравнение (по количеству) групп предметов /без пересчета/" или для организации усвоения какого умственного действия это задание можно использовать?

б) как нужно изменить формулировку задания или рисунок к нему, чтобы упражнение способствовало организации адекватной работы по усвоению темы "Установление взаимно-однозначного соответствия; сравнение (по количеству) групп предметов /без пересчета/".

Вот задания, некоторыми из которых можно воспользоваться на исполнительном (и, одновременно, - контрольном) этапе ориентировки:

1. Материал взят из учебника Б.П. Гейдмана «Математика»1 класс.
2. Материал взят из учебника Б.П. Гейдмана «Математика»1 класс.
3. Материал взят из	Хватит ли воробьям вишен?

4. Материал взят из учебника И.И. Аргинской, Е.П. Бененсон, Л.С. Итиной «Математика»1 класс.

Где груш больше – слева или справа? Где их меньше? Зачеркни квадрат с той стороны, где груш больше.

(Заметим, что формулировка последней фразы в задании учебного пособия была иной: "Поставь столько точек в квадратик, сколько груш на каждом рисунке").

5.
6. Материал взят из учебника И.И. Аргинской, Е.П. Бененсон, Л.С. Итиной «Математика»1 класс
7. Материал взят из учебника И.И. Аргинской, Е.П. Бененсон, Л.С. Итиной «Математика»1 класс
8. Материал взят из учебника И.И. Аргинской, Е.П. Бененсон, Л.С. Итиной «Математика»1 класс.
9. Источник неизвестен	А) Вы стучите на металлофоне, а ребёнок, считая вслух вместе с Вами, выставляет столько же игрушек. Вначале игрушки выставляйте после каждого удара. Когда малыш будет легко справляться с этим заданием, усложните задание - игрушки выставляйте после всех ударов. Б) Игра «Чудесный мешочек». В «чудесном мешочке» находятся счетный материал, два-три вида мелких игрушек. Ведущий выбирает кого-то из детей водящим и просит отсчитать столько предметов, сколько тот услышит ударов молоточка, бубна, или столько предметов, сколько кружков на карточке. Дети, сидящие за столами, считают количество ударов и показывают цифру, соответствующую количеству ударов. Выполнение задания проверяют все вместе. Ведущим становится другой ребенок, игра повторяется.

14