4.1.1. Теоретико-множественный /количественный/ подход к понятию целого неотрицательного числа (цнч).

Исходной точкой построения количественной теории ЦНЧ является понятие конечного множества.

В обыденной жизни под конечным множеством мы понимаем такое множество, все элементы которого в принципе можно пересчитать, т.е. поставить во взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел от 1 до какого-то числа n.

Задание1 (для студентов). Вспомните смысл понятий МНОЖЕСТВО и КОНЕЧНОЕ МНОЖЕСТВО. (Понятие ВЗАИМООДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ рассматривается в этом же пункте данного раздела).

Однако если мы определим конечное множество как множество элементов, которые можно пересчитать, мы тем самым предполагаем, что понятие числа нам известно. Это при той системе изложения, которую мы выбрали, нежелательно, так как мы, наоборот, хотим определить понятие целого неотрицательного числа через понятие конечного множества. Такой выбор обусловлен желанием следовать истории развития понятия числа, которое возникло в результате манипуляций с конечными множествами.

Задание2. Вспомните понятия ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ, РАВНОМОЩНОСТЬ.

4.1.1А. Определение целого неотрицательного числа

Можно рассмотреть класс всех конечных множеств, равномощных множеству пальцев руки. Можно рассмотреть класс всех множеств, равномощных пустому множеству (он состоит из одного пустого множества). Можно рассмотреть класс всех множеств, равномощных множеству, состоящему из коровы. И так далее. Заметим, что каждый элемент класса полностью характеризует этот класс.

Каждый такой класс равномощных конечных множеств и является тем основным объектом, который лежит в основе понятия целого неотрицательного числа.

Задание3. Вспомните смысл понятия КЛАСС МНОЖЕСТВ.

Определение 1. Общее свойство всех равномощных друг другу конечных множеств называется целым неотрицательным числом.

Определение 2. Общее свойство, присущее любому конечному множеству из данного класса равномощных друг другу множеств, будем называть численностью данного конечного множества и обозначать n(А).

Из определений 1 и 2 следует, что целое неотрицательное число есть численность всех множеств, входящих в один класс эквивалентности. Поскольку эти классы не пересекаются, то численность конечных множеств другого класса — это другое целое неотрицательное число.

Таким образом, между классами разбиения множества всех конечных множеств F_а и неотрицательными целыми числами устанавливается взаимно однозначное соответствие. Каждому классу разбиения ставится в соответствие определенное целое неотрицательное число (являющееся общим свойством всех конечных множеств этого класса), и это соответствие является взаимно однозначным.

Целое неотрицательное число есть некоторое свойство, и, следовательно, в начальной школе дети знакомятся и выполняют арифметические действия со свойствами. Этот факт представляется неожиданным. Ведь чаще всего люди имеют дело с вещами, предметами. Разумеется, свойства вещей играют в жизни человека огромную роль. Однако не так уж часто ему приходится в обыденной жизни оперировать со свойствами. В арифметике же это делается всякий раз, как человек прикасается к числу.

Тот факт, что ребенок, работая с числом, на самом деле оперирует со свойствами (т.е. с абстрактными понятиями) других объектов (конечных множеств), учитель должен постоянно иметь в виду. Это должно находить свое отражение в методике преподавания математики.