Основные правила дифференцирования

Теорема 1 Если функции u = u(x) и v = v(x) имеют производные в точке х, то функции u  v, uv, также имеют производные в этой точке, причем:

1)

2)

3) ;

4)

Теорема 2 (производная сложной функции). Если функция g(x) имеет производную в точке х₀, а функция f (у) имеет производную в точке у₀ = = g(x₀), то сложная функция f (g(x)) имеет производную в точке х₀

или .

Таблица основных производных

1) с' = 0, с R;

2) х' =1;

3) (х^α)' = αx^α-1, α R;

4) (а^х)' = а^х lnа, 0 < a  1;

5) (e^x)' = e^x;

6) 0 < a  1, х > 0;

7) х > 0;

8) (sin x)' = cos x;

9) (cos x)' = – sin x;

10) Z;

11) Z;

12) ;

13) ;

14) ;

15) .

Пример 3 Найти уравнения касательной и нормали к графику функции f (x) = 3х² + 4 в точке х₀ = 2.

Решение. Найдем производную функции f (x): f(x) = 6х.

Для того чтобы составить уравнения касательной и нормали (5) и (6), необходимо найти значения функции и ее производной в точке х₀ = 2:

f (2) = 3  2² + 4 = 16;

f ' (2) = 6  2 = 12.

Следовательно, уравнение касательной имеет вид:

у = 12 (х – 2) + 16,

уравнение нормали:

Ответ: у = 12 (х – 2) + 16,

Пример 4 Найти производные функций.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Решение

а) ;

б) ;

в) ;

г)

(вначале взяли производную степенной функции, затем производную sin 8x, а в конце производную 8х).

2 Логарифмическое дифференцирование. Производная неявной функции. Производные высших порядков

Логарифмическое дифференцирование применяют тогда, когда нужно найти производную выражения, содержащего произведения, корни, степени, т.е. выражение, которое легко логарифмируется, а также для нахождения производной степенно-показательной функции u(x)^v(x).

Пример 5 Найти производные функции:

а) ;

б) .

Решение:

а) прологарифмируем функцию у:

Находим производную левой и правой частей данного выражения, учитывая, что :

б) прологарифмируем степенно-показательную функцию (степенно-показательная функция – это функция, у которой функциями являются и основание и показатель степени):

.

Находим производную левой и правой частей данного выражения:

;

Определение 6 Функция называется заданной неявно, если она представлена в виде уравнения

F(x; y) = 0,

т.е. у не выражен явно, или его, в принципе, нельзя выразить явно через х. В этом случае производная находится, учитывая, что у – функция. Например, .

Пример 6 Найти производную функции, заданной неявно уравнением:

Решение. Дифференцируем обе части уравнения:



Определение 7 Второй производной от функции у = f (x) называется производная от ее первой производной у' = f(x). Обозначается вторая производная следующим образом: у'', f '', Аналогично определяются производные третьего и более высоких порядков. Например, производная сотого порядка обозначается как у⁽¹⁰⁰⁾ или .

Пример 7 Найти производные функции

Решение:

у' = 20х⁴ + 4х;

у'' = 80х³ + 4;

у''' = 240х²;

у⁽⁴⁾ =

у⁽⁵⁾ = 480;

у⁽⁶⁾ = 0.