Свойства сходящихся последовательностей

1. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

2. Сходящаяся последовательность ограничена.

3. Если , то, начиная с некоторого номера N, члены последовательности имеют тот же знак, что и знак а.

4. .

5. Если последовательности и сходятся и то:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

2 Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности. Основные способы вычисления пределов

Определение 7 Последовательность называется бесконечно большой последовательностью (б.б.п.), если для любого числа  существует номер , такой, что для всех выполняется неравенство . В этом случае употребляют специальный символ  и пишут . (Если х_n > , то . Если х_n <  , то ).

Определение 8 Последовательность называется бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если .

Заметим, что никакая постоянная последовательность не является бесконечно большой, в то же время только одна постоянная последовательность – нулевая является бесконечно малой последовательностью.

Свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей:

1. сумма и разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность, т.е. если , – б.м.п., то (х_n  y_n) – б.м.п.;

2. произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность, т.е. если – б.м.п., – ограничена, то (х_n y_n) – б.м.п.;

3. если – б.б.п., то – б.м.п.; ;

если – б.м.п., то – б.б.п., ;

4. , где – б.м.п.

Основные способы вычисления пределов:

(при вычислении пределов используют символы, часто употребляющиеся для сокращения записи: для любого числа а > 0 пишут .).

1-й способ = (делим числитель и знаменатель на наивысшую степень п, в данном случае на ) =

.

2-й способ

.

3-й способ

Таким образом, можно сделать вывод, что если у нас неопределенность и максимальная степень п числителя равна максимальной степени п знаменателя, то предел равен отношению числовых коэффициентов при этих степенях п. В первом примере это Если степень п числителя больше, то предел равен (числитель растет быстрее к ). Если степень п числителя меньше, то предел равен 0 (знаменатель растет быстрее к ). Следует иметь в виду, что, например, в выражении степень п будет считаться третьей.

4-й способ

.

5-й способ

.

При вычислении предела последовательности часто возникает неопределенность . В некоторых случаях для ее раскрытия используют следующий прием: выражение умножают и делят на сопряженное выражение. Проиллюстрируем это на примере:

6-й способ

(делим числитель и знаменатель на п)

.

Определение 9 Последовательность называется неубывающей, если при этом последовательность называется строго возрастающей, если .

Аналогично: последовательность называется невозрастающей, если , при этом последовательность называется строго убывающей, если . Последовательности этих четырех типов называются монотонными последовательностями.

Критерий сходимости монотонной последовательности: если монотонная последовательность ограничена, то она сходится.

Определение 10 Вторым замечательным пределом будем называть предел

, (3)

где – иррациональное число.

Заметим, что данный предел представляет собой неопределенность вида Он широко используется при вычислении других пределов.

Рассмотрим примеры:

1.так как .

Заметим, что когда предел имеет вид, подобный виду (3), то он равен е, если произведение второго слагаемого на степень равно 1.

2.

3.

.