- •Лекция 1 предел последовательности
- •1 Понятие числовой последовательности. Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся числовых последовательностей
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •2 Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности. Основные способы вычисления пределов
- •Свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей:
- •Основные способы вычисления пределов:
- •Лекция 2 предел функции
- •1 Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции в бесконечности
- •2 Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Замечательные пределы
- •Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •Первый и второй замечательные пределы
- •3 Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация
- •Свойства функций, непрерывных в точке:
- •Непрерывность функции на отрезке
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Лекция 3 производная функции
- •1 Производная функции, ее геометрический и экономический смысл. Основные правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций
- •Основные правила дифференцирования
- •2 Логарифмическое дифференцирование. Производная неявной функции. Производные высших порядков
- •Лекция 4 правило лопиталя. Дифференциал функции
- •1 Раскрытие неопределенностей при помощи правила Лопиталя
- •2 Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •Лекция 5 исследование функций
- •1 Локальные экстремумы функции. Достаточные условия экстремума функции
- •2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба
- •3 Асимптоты графика функции
- •4 Общая схема построения графика функции
- •Лекция 6 функции нескольких переменных
- •1 Предел и непрерывность функции двух переменных
- •2 Частные производные первого порядка. Полный дифференциал. Частные производные высших порядков
- •3 Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума
- •Лекция 7 НеоПределенный иНтеграл
- •1 Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица основных неопределенных интегралов
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •2 Основные методы интегрирования
- •Лекция 8 НеоПределенный иНтеграл (продолжение)
- •1 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •2 Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование простейших иррациональных функций
- •Интегрирование простейших иррациональных функций
- •3 Интегрирование тригонометрических функций
- •Лекция 9 оПределенный иНтеграл
- •1 Определенный интеграл и его геометрический смысл. Основные свойства определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Формула Ньютона-Лейбница
- •2 Основные способы вычисления определенного интеграла Замена переменной в определенном интеграле
- •Интегрирование по частям
- •Доказательство
- •3 Вычисление площадей плоских фигур, объемов тел вращения, длин дуг плоских кривых Площадь криволинейной трапеции
- •Объем тела вращения
- •Длина дуги плоской кривой
- •Лекция 10 несобственные интегралы
- •1 Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •2 Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Лекция 11 дифференциальные уравнения первого порядка
- •1 Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши
- •2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •3 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •1 Метод подстановки (метод Бернулли).
- •2 Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа)
- •Лекция 12 дифференциальные уравнения высших порядков
- •1 Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка
- •2 Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Лекция 13 числовые ряды
- •Числовой ряд. Сходимость. Признаки сходимости
- •1 Определение числового ряда. Сходимость. Основные свойства числовых рядов
- •Основные свойства числовых рядов
- •2 Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
- •3 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
- •Лекция 14 степенные ряды
- •Ключевые понятия
- •1 Определение степенного ряда. Теорема Абеля
- •2 Свойства степенных рядов
- •3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций
- •Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
- •Приложения степенных рядов
- •Список литературы
- •Содержание
- •Лекция 13 Числовые ряды………….……………………………………..93
- •Лекция 14 Степенные ряды……………………...……….………………103
- •Список литературы…………..…………….……...………………………..112
- •220086, Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
Лекция 2 предел функции
План
-
Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции в бесконечности.
-
Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Замечательные пределы.
-
Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация.
Ключевые понятия
Предел функции в точке.
Односторонние пределы.
Предел функции в бесконечности.
Бесконечно малые функции.
Бесконечно большие функции.
Первый замечательный предел.
Второй замечательный предел.
Непрерывность функции в точке.
Непрерывность функции на отрезке.
Точки разрыва функции.
Точки разрыва первого рода.
Точки устранимого разрыва.
Точки разрыва второго рода.
1 Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции в бесконечности
Предел функции – одно из самых важных понятий высшей математики. С его помощью определяются многие другие математические понятия. Дадим два эквивалентных определения предела функции в точке: определение Коши и определение Гейне.
Определение предела функции в точке по Коши
Определение 1 Число называется пределом функции в точке , если она определена в некоторой проколотой окрестности точки и если для любого сколь угодно малого числа можно указать такое число что для всех х, удовлетворяющих условию
, выполняется неравенство
.
Если предел функции в точке , то это записывают так:
или .
Геометрически данное определение можно изобразить следующим образом:
Таким образом, число будет пределом функции при , если для любой -окрестности точки А найдется такая проколотая -окрестность точки , что для всех х из этой окрестности значение функции попадет в -окрестность точки А.
Определение предела функции в точке по Гейне
Определение 2 Число называется пределом функции в точке , если функция определена в некоторой проколотой окрестности точки и если для любой последовательности , , сходящейся к , соответствующая последовательность значений функции сходится к А при .
Таким образом, по Гейне:
.
Заметим, что свойства предела числовых последовательностей, в силу определения Гейне, автоматически переносятся на предел функции.
Односторонние пределы функции в точке. Назовем левой полуокрестностью точки произвольный интервал а правой полуокрестностью точки – произвольный интервал .
Определение 3 Число А называется пределом функции в точке справа (слева), если функция определена в некоторой правой (левой) полуокрестности точки и если для любой последовательности , , сходящейся к , соответствующая последовательность значений функции сходится к А.
Односторонние пределы обозначают:
– предел справа;
– предел слева.
Заметим, что односторонние пределы могут не совпадать.
Пример 1 Найти пределы функций:
а)
б)
Пример 2 Найти односторонние пределы функции в точке
Предел функции в бесконечности
Рассмотрим случай, когда x +.
Определение 4 Число называется пределом функции при если
Геометрически это можно изобразить следующим образом:
Аналогично определяется предел функции при .
Пример 3:
а)
б) ;
в)