1 Метод подстановки (метод Бернулли).
По этому методу решение уравнения (13) находится в виде:
|
|
(14) |
,где
и
– некоторые непрерывно-дифференцируемые
на интервале
функции, которые необходимо будет
найти.
Так
как
,
то
.
Подставим
у
и
в уравнение (13):
|
|
(15) |
.
В
качестве
возьмем такую функцию, чтобы выражение
в уравнении (15) обращалось бы в нуль, т.
е.
|
|
(16) |
.Тогда уравнение (15) преобразуется в уравнение
|
|
(17) |
.Уравнения (16) и (17) являются уравнениями с разделяющимися переменными. Решим вначале уравнение (16):
;
;
;
;
,
;
|
|
(18) |
.Как
правило, константу
в уравнении (18) полагают равной 1.
Подставим
найденную функцию
из уравнения (18) в уравнение (17):
|
|
(19) |
.
Таким
образом, мы определили необходимые нам
неизвестные функции
и
.
Следовательно, решением исходного
линейного дифференциального уравнения
первого порядка будет функция
|
|
(20) |
.
Формула
(20) позволяет сразу найти решение
дифференциального уравнения (13). Но в
силу ее громоздкости лучше запомнить
алгоритм решения таких уравнений, а
именно, подстановку
,
чем саму формулу (20). Заметим, что формула
(20) значительно упрощается для линейного
однородного уравнения, в котором
:
|
|
(21) |
.
Пример 5 Решить уравнение
|
|
(22) |
.Решение. Сравнивая вид уравнения (22) с видом уравнения (13), действительно убеждаемся, что оно линейное:
,
,
и причем неоднородное.
Для его решения применим подстановку (14):
;
;
;
|
|
(23) |
.Пусть
,
тогда
,
.
Пусть
,
тогда
|
|
(24) |
.Подставим (24) в (23):
;
;
|
|
(25) |
.Таким образом, учитывая (24) и (25), общим решением уравнения (22) будет функция:
|
|
(26) |
.
2 Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа)
Рассмотрим уравнение (13):
|
|
.Найдем вначале общее решение однородного уравнения
.
Его решением будет функция (21):
|
|
.По методу вариации произвольной постоянной общее решение (13) ищут в виде (21), полагая в этом соотношении величину С функцией от х:
|
|
(27) |
;
|
|
(28) |
.Подставим (27), (28) в (13):
,
,
,
,
|
|
(29) |
.
Подставив
из (29) в (27), получим общее решение
дифференциального уравнения (13),
совпадающее, естественно, с формулой
(20):
.
Пример 6 Решить уравнение (22) методом вариации произвольной постоянной
|
|
.Решение.
Вначале
рассмотрим однородное уравнение
.
Решим его:
,
,
|
|
(30) |
.Функция (30) – решение однородного уравнения. Учитывая (30), решение неоднородного уравнения (22) будем искать в виде:
|
|
(31) |
|
|
(32) |
;
.Подставим (31), (32) в (22):
;
;
|
|
(33) |
.Подставим (33) в (31). В итоге получаем решение исходного уравнения (22):
|
|
(34) |
.Функция (34), естественно, совпала с функцией (26), так как эти функции являются решением одного и того же уравнения (22).