- •Частный институт управления и предпринимательства
- •Неопределенный интеграл Минск 2007
- •М 54 Высшая математика. Неопределенный интеграл: учеб.-метод. По-собие / в. М. Метельский. – Минск: Частн. Ин-т упр. И предпр., 2007. – 28 с.
- •Ключевые понятия
- •Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •4. Основные методы интегрирования
- •Задачи и упражнения
- •Ключевые понятия
- •Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование простейших иррациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Задачи и упражнения
- •Литература
- •Ответы к задачам и упражнениям Лекция 1
- •Лекция 2
- •Содержание
- •Метельский Василий Михайлович высшая математика Неопределенный интеграл
- •220086, Г. Минск, ул. Славинского 1, корп. 3.
Частный институт управления и предпринимательства
В. М. Метельский
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Неопределенный интеграл Минск 2007
Частный институт управления и предпринимательства
В. М. Метельский
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Неопределенный интеграл
Учебно-методическое пособие
Минск 2007
УДК 51(075.8):33
ББК 22.1я73
М 54
Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом Частного института управления и предпринимательства
А в т о р
доцент кафедры высшей математики и статистики
Частного института управления и предпринимательства
кандидат физико-математических наук В. М. Метельский
Р е ц е н з е н т ы:
профессор кафедры высшей математики Белорусского государственного экономического университета доктор физико-математических наук, профессор Н. С. Коваленко;
доцент кафедры высшей математики Белорусского национального технического университета кандидат физико-математических наук, доцент Т. И. Чепелева
Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры высшей математики и статистики,
протокол № 10 от 11.05.2007 г.
Метельский, В. М.
М 54 Высшая математика. Неопределенный интеграл: учеб.-метод. По-собие / в. М. Метельский. – Минск: Частн. Ин-т упр. И предпр., 2007. – 28 с.
Пособие подготовлено в соответствии с учебной программой ЧИУиП по дисциплине «Высшая математика», стандартом и типовой программой Министерства образования Республики Беларусь. Оно включает лекции, задачи, упражнения и индивидуальные задания по теме «Неопределенный интеграл».
Для студентов дневной и заочной форм обучения Частного института управления и предпринимательства.
УДК 51(075.8):33
ББК 22.1я73
Метельский В. М., 2007
Частный институт управления и предпринимательства, 2007
Лекция 1. НеоПРЕДЕЛЕННЫЙ иНТЕГРАЛ
План
-
Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл.
-
Основные свойства неопределенного интеграла.
-
Таблица основных неопределенных интегралов.
-
Основные методы интегрирования.
Ключевые понятия
Производная. Первообразная. Неопределенный интеграл. Интегрирование. Подынтегральная функция. Подынтегральное выражение. Переменная интегрирования. Интегральная кривая. Непосредственное интегрирование. Интегрирование заменой переменной. Интегрирование по частям.
-
Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл
Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. В интегральном исчислении решается обратная задача: по данной функции найти функцию , производная которой была бы равна функции , т.е. . Искомую функцию называют первообразной для функции .
Определение 1. Функция называется первообразной для функции на интервале , если она дифференцируема на и для любого выполняется равенство
.
Например, функция является первообразной для функции на всей числовой прямой, так как при любом значении , т.е. выполняется равенство ; функция является первообразной для функции на всей числовой прямой, так как в каждой точке .
Задача отыскания по данной функции ее первообразной решается неоднозначно. Действительно, если является первообразной для функции , т.е. , то функция , где C – произвольная постоянная, также является первообразной для , так как . Например, для функции первообразной является не только функция , но и функция , так как . Таким образом, справедлива следующая теорема:
Теорема 1. Если функция является первообразной для функции на интервале , то множество всех первообразных для задается формулой , где C – произвольная постоянная.
Определение 2. Множество всех первообразных функций для функции на интервале называется неопределенным интегралом от функции на этом интервале и обозначается символом , где – знак интеграла; – подынтегральная функция; – подынтегральное выражение; – переменная интегрирования.
Таким образом:
,
где – некоторая первообразная для на интервале ; C – произвольная постоянная.
Например, поскольку функция является первообразной для функции , то .
Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.
Пример 1. Проверить, что .
Решение. Продифференцируем результат интегрирования:
. Получили подынтегральную функцию, следовательно, интегрирование выполнено верно.
Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство плоских кривых , смещенных относительно друг друга вдоль оси . График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.