Свойства функций, непрерывных в точке:
1
Если функции
и
непрерывны в точке
,
то функции
,
(с
– постоянная),
и
(при условии что
)
также непрерывны в точке
.
2
Если функция
непрерывна в точке
,
а функция
непрерывна в точке
,
то сложная функция
непрерывна в точке
.
Непрерывность функции на отрезке
Определение
10 Функция
называется непрерывной на отрезке
,
если она непрерывна в каждой точке
этого отрезка (в точке a
непрерывна справа, т.е.
,
а в точке b
непрерывна слева, т. е.
).
Свойства функций, непрерывных на отрезке
-
Если функция
непрерывна на отрезке
,
то она ограничена на этом отрезке
(первая теорема Вейерштрасса). -
Если функция
непрерывна на отрезке
,
то на этом отрезке она достигает своего
наименьшего значения
и наибольшего значения
(вторая
теорема Вейерштрасса). -
Если функция
непрерывна на отрезке
и на его концах принимает значения
разных знаков, то внутри отрезка
существует хотя бы одна точка
такая, что
(теорема Больцано-Коши):
Точки разрыва функции и их классификация
Точки,
в которых условие непрерывности не
выполняется, называются точками
разрыва
этой функции. Если
– точка разрыва функции
,
то в ней не выполняется хотя бы одно из
трех условий непрерывности функции,
указанных в определениях 7, 8.
Точки разрыва функции классифицируются следующим образом:
Определение
11 Точка
называется точкой
разрыва первого рода
функции
,
если в этой точке существуют конечные
пределы
и
,
но они не равны между собой:
.
Величина
называется при этом скачком функции
в точке
.
Определение
12 Точка
называется точкой
устранимого разрыва
функции
,
если в этой точке существуют конечные
пределы
и
,
они равны между собой:
,
но сама функция
не определена в точке
или определена, но
.
Определение
13 Точка
называется точкой
разрыва второго рода
функции
,
если в этой точке хотя бы один из
односторонних пределов (
или
)
не существует или равен бесконечности.
Пример 8 Найти точки разрыва функции и определить их тип:
Решение.
Функция
определена
и непрерывна на интервалах
,
и
,
так как на каждом из этих интервалов
она задана непрерывными элементарными
функциями. Следовательно, точками
разрыва данной функции могут быть
только те точки, в которых функция
меняет свое аналитическое задание,
т.е. точки
и
.
Найдем односторонние пределы функции
в точке
:
;
.
Так
как односторонние пределы существуют
и конечны, но не равны между собой, то
точка
является точкой разрыва первого рода.
Скачок функции:
.
Для
точки
находим:
;
;
.
Таким
образом, имеем:
.
Следовательно, в точке
наша функция является непрерывной.
График данной функции изображен на рисунке:
