- •Лекция 1 предел последовательности
- •1 Понятие числовой последовательности. Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся числовых последовательностей
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •2 Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности. Основные способы вычисления пределов
- •Свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей:
- •Основные способы вычисления пределов:
- •Лекция 2 предел функции
- •1 Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции в бесконечности
- •2 Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Замечательные пределы
- •Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •Первый и второй замечательные пределы
- •3 Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация
- •Свойства функций, непрерывных в точке:
- •Непрерывность функции на отрезке
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Лекция 3 производная функции
- •1 Производная функции, ее геометрический и экономический смысл. Основные правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций
- •Основные правила дифференцирования
- •2 Логарифмическое дифференцирование. Производная неявной функции. Производные высших порядков
- •Лекция 4 правило лопиталя. Дифференциал функции
- •1 Раскрытие неопределенностей при помощи правила Лопиталя
- •2 Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •Лекция 5 исследование функций
- •1 Локальные экстремумы функции. Достаточные условия экстремума функции
- •2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба
- •3 Асимптоты графика функции
- •4 Общая схема построения графика функции
- •Лекция 6 функции нескольких переменных
- •1 Предел и непрерывность функции двух переменных
- •2 Частные производные первого порядка. Полный дифференциал. Частные производные высших порядков
- •3 Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума
- •Лекция 7 НеоПределенный иНтеграл
- •1 Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица основных неопределенных интегралов
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •2 Основные методы интегрирования
- •Лекция 8 НеоПределенный иНтеграл (продолжение)
- •1 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •2 Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование простейших иррациональных функций
- •Интегрирование простейших иррациональных функций
- •3 Интегрирование тригонометрических функций
- •Лекция 9 оПределенный иНтеграл
- •1 Определенный интеграл и его геометрический смысл. Основные свойства определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Формула Ньютона-Лейбница
- •2 Основные способы вычисления определенного интеграла Замена переменной в определенном интеграле
- •Интегрирование по частям
- •Доказательство
- •3 Вычисление площадей плоских фигур, объемов тел вращения, длин дуг плоских кривых Площадь криволинейной трапеции
- •Объем тела вращения
- •Длина дуги плоской кривой
- •Лекция 10 несобственные интегралы
- •1 Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •2 Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Лекция 11 дифференциальные уравнения первого порядка
- •1 Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши
- •2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •3 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •1 Метод подстановки (метод Бернулли).
- •2 Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа)
- •Лекция 12 дифференциальные уравнения высших порядков
- •1 Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка
- •2 Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Лекция 13 числовые ряды
- •Числовой ряд. Сходимость. Признаки сходимости
- •1 Определение числового ряда. Сходимость. Основные свойства числовых рядов
- •Основные свойства числовых рядов
- •2 Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
- •3 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
- •Лекция 14 степенные ряды
- •Ключевые понятия
- •1 Определение степенного ряда. Теорема Абеля
- •2 Свойства степенных рядов
- •3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций
- •Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
- •Приложения степенных рядов
- •Список литературы
- •Содержание
- •Лекция 13 Числовые ряды………….……………………………………..93
- •Лекция 14 Степенные ряды……………………...……….………………103
- •Список литературы…………..…………….……...………………………..112
- •220086, Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба
Пусть функция f (х) задана на интервале (a; b) и х1, х2 – любые различные точки этого интервала. Через точки А (х1; f (х1)) и В (х2; f (х2)) графика функции f (х) проведем прямую, отрезок АВ которой называется хордой. Уравнение этой прямой запишем в виде у = у(х).
Определение 4 Функция f (х) называется выпуклой вниз (вогнутой) на интервале (a; b), если для любых точек х1, х2 (a; b), а х1 < х2 b хорда АВ лежит не ниже графика этой функции, т. е. если f (х) у (х),
х [х1; х2] (a; b):
Заметим, что выпуклую вниз функцию иногда называют вогнутой функцией. Аналогично определяется выпуклость функции вверх.
Определение 5 Функция f (х) называется выпуклой вверх (выпуклой) на интервале (a; b), если для любых точек х1, х2 (a; b), а х1 < х2 b хорда АВ лежит не выше графика этой функции, т. е. если f (х) у (х),
х [х1; х2] (a; b):
Теорема 3 (достаточное условие выпуклости). Если f (х) – дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b) и:
1) f ''(х) > 0, х (a; b), то на (a; b) функция f (х) выпукла вниз;
2) f ''(х) < 0, х (a; b), то на (a; b) функция f (х) выпукла вверх.
Точка х0 называется точкой перегиба функции f (х), если – окрест-ность точки х0, что для всех х (х0 – , х0) график функции находится с одной стороны касательной, а для всех х (х0, х0 + ) – с другой стороны каса-тельной, проведенной к графику функции f (х) в точке х0, т. е. точка х0 – точка перегиба функции f (х), если при переходе через точку х0 функция f (х) меняет характер выпуклости:
х0 – х0 х0 +
Теорема 4 (необходимое условие существования точки перегиба). Если функция f (х) имеет непрерывную в точке х0 производную f '' и х0 – точка перегиба, то f '' (х0) = 0.
Теорема 5 (достаточное условие перегиба). Если функция f (х) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки х0 и при переходе через точку х0 производная f ''(х) меняет знак, то точка х0 является точкой перегиба функции f (х).
П ример 4 Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции у = х3.
Решение: у' = 3х2; у'' = 6х = 0 х0 = 0 – точка, подозрительная на перегиб.
В точке х0 = 0 функция у = х3 имеет перегиб:
х |
(–; 0) |
0 |
(0; +) |
у'' |
– |
0 |
+ |
у |
выпукла вверх |
0 |
выпукла вниз |
|
|
точка перегиба |
|
Пример 5 Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции .
Решение. В примере 3 мы уже находили вторую производную данной функции . Так как то точек, подозрительных на перегиб, нет. Рассмотрим промежутки выпуклости:
х |
(–; 0) |
0 |
(0; +) |
у'' |
– |
– |
+ |
у |
выпукла вверх |
– |
выпукла вниз |
|
|
функция не определена |
|