3 Двухпроводные направляющие системы.

3.1 Основное уравнение однородной кабельной цепи

По физической природе параметры кабеля аналогичны параметрам колебательных контуров, составленных из элементов R, L, и C. Разница состоит лишь в том, что в контурах эти параметры (R, L и C) являются сосредоточенными, а в кабелях они равномерно или неравномерно распределены по всей длине цепи. Если параметры линии распределены равномерно, то такая линия называется однородной, иначе – неоднородной. В общем случае электрическая схема замещения двухпроводной цепи с распределенными параметрами имеет вид, представленный на рис. 3.1. Здесь: – сопротивление токопроводящих жил участка цепи длиной ; – индуктивность участка цепи длиной ; – емкость участка цепи длиной ; – проводимость изоляции участка цепи длиной .

Рис 3.1. Электрическая схема замещения двухпроводной цепи связи

В начале цепи включен генератор с внутренним сопротивлением Z₀, в конце – нагрузка Z_Н. Обозначим напряжение и ток в начале цепи U₀, I₀, в конце – U_l, I_l.

Обозначим силу тока, протекающего по элементу цепи dx, через I и напряжение между проводниками через U. Падение напряжения и утечка тока на участке dx будет определяться по формулам:

, (3.1)

. (3.2)

Уравнения (3.1), (3.2) называются телеграфными уравнениями. Знак «–» в этих уравнениях означает, что при продвижении электромагнитной волны по двухпроводной цепи от начала к концу амплитуда напряжения и тока падает.

Для однородных линий можно записать , , , . Параметры , , и называются первичными параметрами цепи. Качество передачи по кабельным линиям связи и их электрические свойства полностью характеризуются: активным сопротивлением R, индуктивностью L, емкостью C и проводимостью изоляции G. Эти параметры определяются конструкцией кабеля, используемыми материалами и частотой тока.

Параметры R и L, включенные последовательно, образуют суммарное сопротивление , а параметры G и C – суммарную проводимость . Из указанных четырех первичных параметров кабеля лишь R и G обуславливают потери энергии: R – потери на тепло в ТПЖ и других металлических частый кабеля (экран, оболочка, брони); G – потери в изоляции.

Рис 3.2. Электрическая схема замещения однородной двухпроводной цепи связи

Таким образом, уравнения (3.1), (3.2) для однородной цепи будут иметь вид

, (3.3)

. (3.4)

Для решения этих уравнений относительно U и I исключим сначала I из (3.3), взяв вторую производную:

. (3.5)

Подставим (3.4) в (3.5), получим:

. (3.6)

Обозначим:

. (3.7)

Тогда:

. (3.8)

Здесь – коэффициент распространения двухпроводной цепи, 1/м.

Решение (3.8) имеет вид:

. (3.9)

После дифференцирования уравнения (3.9) и подстановки в (3.3), получим выражение для тока:

. (3.10)

Обозначим

. (3.11)

Здесь: – волновое сопротивление, Ом.

Тогда

. (3.12)

Таким образом, имеется два уравнения с двумя неизвестным А и В:

. (3.13)

Для нахождения постоянных А и В воспользуемся значениями тока и напряжения в начале цепи (при x = 0) I₀ и U₀. Тогда уравнения (3.13) примут вид:

. (3.14)

Отсюда:

. (3.15)

Подставив значение А и В в (3.13), получаем:

, (3.16)

Уравнения (3.16) можно представить в другом виде. С учетом того, что получим:

. (3.17)

В конце цепи при x = l получим:

. (3.18)

Практически, оказывается, удобно пользоваться выражениями, устанавливающими зависимость напряжения и тока вначале цепи от напряжения и тока в конце цепи. Решив (3.19) относительно U₀ и I₀, получим:

. (3.19)

Уравнения (3.16) – (3.19) устанавливают взаимосвязь токов и напряжений с параметрами цепи R, L, C и G или и Z_B, позволяя определить напряжение и ток в любой точке цепи. Эти уравнения справедливы при любых нагрузках Z₀ и Z_Н.

При согласованных нагрузках (Z₀ = Z_Н =Z_B) U₀ /I₀ = U_l/I_l = Z_B уравнения (3.16) – (3.19) упрощаются и принимают вид:

(3.20)

Практически наиболее часто пользуются уравнениями в виде:

; . (3.21)

В этом случае отношение мощностей в начале и конце линии имеет вид:

. (3.22)

Таким образом, получены уравнения однородной кабельной цепи в общем виде при любых нагрузках по концам и при согласованных нагрузках.

Из приведенных формул следует, что распространение энергии по линии, ток и напряжение в любой точке цепи обусловим двумя параметрами и Z_B.