- •В.А. Кузнецова основы математики финансов
- •Красноярск 2006
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Базовые понятия математики финансов
- •2. Простые ссудные проценты
- •Задания для самоподготовки Контрольные вопросы
- •3. Простые учетные проценты
- •4. Сложные проценты
- •Наращение 100 руб. По сложным процентам (руб.)
- •5. Аннуитеты
- •Задания для самоподготовки Вопросы
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Порядковые номера дней в году (для невисокосного года)
- •Порядковые номера дней в году (для високосного года)
- •Справочник основных формул математики финансов Простые ссудные проценты
- •Простые учетные проценты
- •Сложные ставки ссудного процента
- •Аннуитеты
Задания для самоподготовки Контрольные вопросы
-
Что является предметом изучения финансовой математики?
-
Чем различаются способы начисления процентов?
-
Что такое проценты?
-
Что представляет собой процентная ставка?
-
Что такое период начисления?
-
Что представляет собой временная диаграмма?
-
Почему нельзя складывать разновременные суммы?
-
Чем различаются простые и сложные проценты?
-
Что такое временная база сравнения?
-
От чего зависит величина процентов?
-
Как рассчитать наращенную сумму?
-
В чем различие между обыкновенными и точными процентами?
-
Что представляет собой коэффициент наращения?
-
Что такое дисконтирование?
-
Какая имеется связь между коэффициентами наращения и дисконтирования?
Задачи
Задача 1. Определить, чему равен процентный доход и наращенная сумма, если капитал в 750 тыс. руб. был вложен в дело на 2 месяца с доходностью 7 %.
(Ответ: 8,75 тыс. руб.; 758,75 тыс. руб.)
Задача 2. Заемщик взял в долг 125 тыс. руб., через месяц он его погасил платежом в 128,75 тыс. руб. Определить годовую процентную ставку.
(Ответ: 36 %)
Задача 3. На какой срок была выдана ссуда в 60 тыс. руб. под 5 %, если сумма к погашению составила 60,75 тыс. руб.?
(Ответ: 3 месяца)
Задача 4. На какой срок был предоставлен кредит в 5 млн руб. под 12 %, если процентный платеж по нему составил 0,25 млн руб.?
(Ответ: 5 месяцев)
Задача 5. Покупателю отгружен товар на сумму 200 тыс. руб. Если он оплатит его через 10 дней (вместо положенных 30 дней), то получит скидку 2 %. Какова доходность этой сделки? В расчете год принять равным 360 дням.
(Ответ: 36,7 %)
Задача 6. Номинальная стоимость привилегированных акций компании 100 руб., по ним выплачивается 5 % дивиденд. На рынке акции котируются по 115 руб. Если купить эти акции, какова будет доходность?
(Ответ: 4,35 %)
Задача 7. Дебитор подписал долговое обязательство на 200 тыс. руб. под 4 % со сроком погашения через 6 месяцев. Спустя один месяц, держатель обязательства продает его третьему лицу, применяющему ставку дисконтирования 6 %. Какую сумму получает держатель?
(Ответ: 199 тыс. руб.)
Задача 8. Заемщик взял в долг 1 млн руб. со сроком погашения через год и ссудной процентной ставкой 6 %. Он хочет погасить этот долг двумя равными платежами через 3 и 9 месяцев соответственно. Какова должна быть сумма этих платежей, если кредитор согласен использовать в расчетах эту же процентную ставку? Принять за временную базу сравнения 1 год.
(Ответ: 514,56 тыс. руб.)
3. Простые учетные проценты
В данной главе речь пойдет об антисипативном способе начисления процентов. Чтобы понять отличие этого способа от декурсивного, рассмотрим пример. Заемщик обращается в банк за ссудой в 10 тыс. руб. на один год. Банк, применяющий учетную ставку 10 %, начислит проценты в размере 1 тыс. руб. (0,1 от 10 тыс. руб.) и выдаст заемщику ссуду за минусом этих процентов. Заемщик получит на руки 9 тыс. руб., а через год он должен вернуть 10 тыс. руб. Доход банка в этом случае называется дисконтом.
Дисконт – это доход, полученный по учетной ставке. Его расчет аналогичен расчету ссудных процентов, но за базу принимается не первоначальная, а наращенная сумма.
D = S d n, (9)
где D – дисконт;
d – учетная ставка в виде относительной величины;
n – период начисления.
Учетная ставка и период начисления должны корреспондироваться по времени. Поскольку первоначальная сумма меньше наращенной на величину дисконта, справедлива формула:
Р = S – D = S – S d n = S (1 – d n ) (10)
Если известна первоначальная сумма, то для расчета будущей величины, ее надо продисконтировать по учетной ставке:
S = . (11)
Пример 7.
Заемщик берет ссуду 600 тыс. руб. на 6 месяцев в банке, который применил учетную ставку 8 %. Рассчитать дисконт и сумму, полученную заемщиком.
Решение.
Доход банка, или дисконт определим по формуле (9):
D = 6000,080,5 = 24 тыс. руб.
На руки заемщик получит разницу между заявленной суммой и доходом банка: Р = 600 – 24 = 576 тыс. руб.
Пример 8.
Заемщику необходима сумма в 20 тыс. руб. на 3 месяца. Банк предлагает ему оформить кредитный договор, в котором указана, кроме выше перечисленных параметров, учетная ставка в 6 %. Какую сумму следует запросить заемщику?
Решение.
Чтобы получить на руки 20 тыс. руб., необходимо запросить:
S = = 20,3 тыс. руб.
Доход банка составит 0,3 тыс. руб. (D = S d n = 20,30,06 = 0,3 тыс. руб.).
Проверим: D = S – Р = 20,3 – 20 = 0,3 тыс. руб.
Учетная ставка обеспечивает кредитору больший доход, чем такая же по величине ссудная ставка. Поэтому антисипативный способ начисления процентов, как правило, применяется в краткосрочных операциях.
Пример 9.
Через год первоначальный капитал вырастет до 100 тыс. руб. Требуется определить его величину, если и ссудная, и учетная ставки равны 6 %. Чему равен процентный доход?
Решение:
а) декурсивный способ начисления процентов:
Р = = 94,34 тыс. руб.;
I = 100 - 94,34 = 5,66 тыс. руб.
б) антисипативный способ начисления процентов:
Р = 100 (1 - 0,061) = 94 тыс. руб.
D = 100 – 94 = 6 тыс. руб.
Как показано в примере, первоначальный капитал, рассчитанный по учетной ставке, ниже, чем рассчитанный по точно такой же, но ссудной ставке.
С целью сравнения можно определить ссудную ставку, которая эквивалентна данной учетной ставке, и наоборот. Для этого составляют уравнения эквивалентности.
Учетная и ссудная ставки являются эквивалентными, если при одном и том же первоначальном капитале его наращенная величина будет одинаковой. Чтобы получить зависимость между i и d, приравняем правые части формул (3) и (11):
P (1+i n) = .
Разделив обе стороны уравнения на Р, получим следующее уравнение:
(1-i n) = .
После преобразований этого выражения, находим эквивалентные ссудную и учетную ставки.
i = ; (12)
d = . (13)
Пример 10.
Банк учитывает годовое обязательство в 500 тыс.руб. по ставке 10 %. Какой ссудный процент он при этом применяет?
Решение.
Чтобы ответить на вопрос, надо применить формулу (12):
i = = 0,11 или 11 %.
Пример 11.
Какой должна быть величина учетной ставки, чтобы обеспечить доходность шестимесячной ссуды в 18 %?
Решение.
Воспользуемся формулой (13): d = = 0,165 или 16,5 %.
Чаще всего учетными ставками пользуются для учета векселей. Рассмотрим это на примере.
Пример 12.
Шестимесячный беспроцентный вексель на сумму 300 тыс. руб. и сроком погашения 15 декабря был учтен в банке 28 июля по ставке 8 %. Какую сумму получил векселедатель?
Решение.
Прежде всего найдем дисконтный период, воспользовавшись приложением 1. 15 декабря – 349ый день года, 28 июля – 209ый день. Разница между этими датами составляет дисконтный период, равный 140 дням (349 – 209).
Определим доход банка, т.е. дисконт по формуле (9):
D = 3000,08 = 9,3 тыс. руб.
Зная будущую сумму (сумму к погашению) и дисконт, найдем сумму, которую банк выплатил векселедателю: Р = 300 – 9,3 = 290,7 тыс. руб.
Заметьте, что в данном примере вексель беспроцентный. Если вексель доходный, то сначала надо найти его будущую стоимость по формуле (3), а затем определять другие параметры.
Задания для самоподготовки
Вопросы
-
Что характерно для антисипативного способа начисления процентов?
-
Что представляет собой дисконт?
-
От чего зависит величина дисконта?
-
Может ли произведение dn быть равно или больше 1?
-
С какой целью составляют уравнения эквивалентности?
-
При каком условии учетные и ссудные ставки будут эквиваленты?
-
В каких сделках используются учетные ставки?
-
Как рассчитать дисконтный период?
Задачи
Задача 1. Через 3 месяца заемщик должен вернуть 15 тыс. руб. Чему равен дисконт, если ссуда выдана по учетной ставке 15 %?
(Ответ: 562,5 руб.)
Задача 2. Срок погашения долга в 60 тыс. руб. составляет 10 месяцев. Какова первоначальная сумма, если учетная ставка равна 12 %?
(Ответ: 54 тыс. руб.)
Задача 3. Заемщику необходима сумма в 100 тыс. руб. на 3 месяца. Какой величины ссуду он должен запросить, если учетная ставка банка равна 15 %?
(Ответ: 104 тыс. руб.)
Задача 4. Какой должна быть учетная ставка на 120-дневную ссуду, чтобы обеспечить доходность, выраженную ссудной ставкой в 20 %? Год принять за 360 дней?
(Ответ: 18, 7%)
Задача 5. Ссуда выдана на полгода. Чему равна эквивалентная ссудная ставка, если учетная составила 10 %?
(Ответ: 10, 5%)
Задача 6. Шестидесятидневный вексель номиналом 750 тыс. руб. был учтен в банке 5 августа по ставке 6 %. Какую сумму получил векселедатель, если вексель имеет доходность 5 %, а срок его погашения 30 августа?
(Ответ: 753,1 тыс. руб.)