Подмножества

Понятие подмножества возникает каждый раз, когда приходится рассматривать некоторое множество не самостоятельно, а как часть другого, более широкого множества.

Например, множество студентов первого курса данного учебного заведения является подмножеством в множестве всех студентов данного ВУЗа, в свою очередь множество студентов данного ВУЗа является подмножеством в множестве студентов города, страны, всех студентов.

Множество всех лис является подмножеством в множестве хищных зверей, множество хищных зверей  подмножеством в множестве млекопитающих, а множество млекопитающих  подмножеством в множестве позвоночных.

Точно так же в следующем списке каждое следующее множество является подмножеством предыдущего:

• а)множество всех комплексных чисел,

• б)множество всех действительных чисел,

• в)множество всех рациональных чисел,

• г)множество всех целых чисел,

• д)множество всех натуральных чисел.

Обычно все множества, с которыми имеют дело в том или ином рассуждении, являются подмножествами некоторого фиксированного, самого большого в данном контексте множества, такое множество называют универсальным множеством. Универсальное множество будем обозначать буквой I. Так, множество точек любой геометрической фигуры является подмножеством в универсальном множестве всех точек трёхмерного пространства. Множества депутатов партийных фракций являются подмножествами универсального множества депутатов законодательного собрания.

Если каждый элемент х множества Y (хY), является элементом множества X (хX), то Y называется подмножеством множества X. Иными словами, если каждый элемент х из Y является вместе с тем и элементом множества X, то множество Y является подмножеством множества X. Для обозначения этого свойства используется знак включения  и применяется запись

Y  X.

Из двух включений X  Y и Y  X следует, что множества X и Y совпадают, X = Y т.е. они состоят из одних элементов. Если множества X и Y не совпадают, применяется запись X  Y.

Если Y  X и одновременно X  Y, то этому соответствует запись Y  X и Y называется собственным подмножеством X.

Число элементов конечного множества обозначается через |Х|. Множество, содержащее n элементов, иногда называют n  множеством. Ясно, что все элементы n  множества X можно пронумеровать числами 1,2, ... n и записать в виде списка

Х = {x₁ ,x₂, ...., х_n}.

Очевидно, если |Х|= n и |Y| = m, то из Y  X следует m  n, а из Y  X вытекает m < n.

Если множество X содержит бесконечное множество элементов, как, например, множество натуральных или целых чисел, то обозначение |Х| читается как мощность множества X. Это понятие будет еще уточняться, сейчас же заметим, что для бесконечных множеств слово "мощность" обозначает то же самое, что для конечных множеств "число элементов". В математике не принято говорить, что "множества А и В имеют поровну элементов", а говорят, что "А и В имеют одинаковую мощность".

Само название  множество наводит на мысль, что каждое множество должно содержать несколько, много, по крайней мере, два элемента. Но из понятия подмножества следует, что можно рассматривать и множества, содержащие только один элемент, и даже множество, не содержащее ни одного элемента.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством и обозначается Ø. Считается, что пустое множество является подмножеством любого множества. Считается также, что пустое множество обладает всякими, любыми свойствами: про пустое множество можно говорить все, что угодно.

Примерами пустых множеств могут служить множество кошек, живущих на Луне, множество действительных корней уравнения х⁴ + 9 = 0.

Зачем нужно пустое множество? Когда множество задают характеристическим свойством, то не всегда заранее известно, существует ли хоть один элемент с таким свойством. Далеко не все могут сказать, пусто ли множество тигров, живущих на свободе в Австралии.

В математике известно, что многие теоремы формулируются как теоремы о совпадении двух множеств. Наряду с ними встречаются и теоремы, в которых речь идет о том, что одно множество является подмножеством другого. Например, в теореме "Диагонали четырехугольника с равными сторонами (ромба) взаимно перпендикулярны" речь идет о двух множествах: А - множество всех ромбов, В - множество всех четырехугольников со взаимно перпендикулярными диагоналями. Теорема состоит в том, что АВ.

Если множество А является подмножеством множества В, АВ, то принадлежность к множеству А является достаточным условием принадлежности к множеству В, а принадлежность к множеству В  необходимым условием принадлежности к множеству А. Например, пусть В множество всех положительных четных чисел, А  множество натуральных чисел, последней цифрой которых является 4. Ясно, что АВ. Поэтому для того, чтобы целое число было четным, достаточно, чтобы его последней цифрой было 4. С другой стороны, для того, чтобы последней цифрой целого числа было 4, необходимо, чтобы это число было четным.

В случае, когда множества А и В совпадают, принадлежность к А необходима и достаточна для принадлежности к В. Иными словами, теоремы о том, что некоторое условие является необходимым и достаточным  это теоремы о совпадении двух множеств.

Так, для того, чтобы целое число n делилось на 10 необходимо и достаточно, чтобы его последней цифрой был 0. Другими словами, множество чисел, кратных 10, совпадает с множеством чисел, последней цифрой которых является 0.

Точно так же множество всех ромбов совпадает с множеством параллелограммов, имеющих взаимно перпендикулярные диагонали. Поэтому для того, чтобы параллелограмм был ромбом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны.