- •Матрицы. Системы линейных уравнений
- •1. Матрицы
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Действия с матрицами
- •1.3. Задачи
- •2. Определители
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Свойства определителя
- •2.3. Алгебраические дополнения. Миноры. Формулы разложения определителя по столбцу или строке
- •2.4. Вычисление определителей
- •2.5. Задачи
- •3. Обратная матрица
- •3.1. Задачи
- •4. Ранг матрицы
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Вычисление ранга матрицы
- •4.3. Задачи
- •5. Системы линейных уравнений
- •5.1. Основные определения
- •5.2. Квадратные системы. Формулы Крамера
- •5.3. Метод Гаусса
- •5.4. Задачи
- •6. Однородные линейные системы
- •6.1. Общее решение однородной системы
- •6.2. Задачи
- •7. Неоднородные системы
- •7.1. Общее решение неоднородной системы
- •7.2. Задачи
- •Литература
1.3. Задачи
Вычислить произведения матриц:
1. 2. . 3. .
4. . 5. .
6. Доказать, что если для матриц и оба произведения и существуют, причем , то матрицы и - квадратные и имеют одинаковый порядок.
Вычислить выражения:
7. . 8. . 9. .
10. , порядок матрицы равен .
11. Найти значение многочлена от матрицы .
12. Доказать, что если матрицы и - квадратные и имеют одинаковый порядок, причем , то
а) . б) .
13. Доказать, что если матрицы и - квадратные и имеют одинаковый порядок, причем , то
.
14. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей
.
2. Определители
2.1. Основные понятия
Понятие определителя вводится только для квадратных матриц. Пусть — квадратная матрица порядка. Составим произведение из различных элементов матрицы , выбирая по одному и только одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Запишем это произведение в виде. Будем называть его членом определителя. Рассмотрим последовательность чисел . По самому построению члена определителя это различные числа, которые представляют собой перестановку чисел от 1 до . Назовем инверсией в перестановке такое расположение чисел, когда старшее стоит перед младшим. Например, в перестановке 1,2,4,5,7,9,10,8,3,6 будет 12 инверсий. Обозначим число инверсий в перестановке через . Так как из чисел можно составить различных перестановок, то число различных членов определителя равно !
Определение. Определителем (детерминантом) матрицы называется алгебраическая сумма ! членов определителя перед каждым из которых стоит знак . Или
где сумма берется по всем возможным перестановкам .
Хотя определитель матрицы это число, будем для удобства столбцы и строки матрицы называть также столбцами и строками ее определителя .
Пример. Вычислим определитель матрицы второго порядка
.
Члены определителя имеют вид , где принимают значения 1 и 2. Возможны две пары значений и . Поэтому
.
2.2. Свойства определителя
1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется, т.е. . Поэтому свойства, сформулированные для столбцов матрицы, справедливы и для строк.
2. При перестановке двух столбцов (строк) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.
3. Обозначим через определитель, й столбец которого есть вектор-столбец . Если все элементы го столбца определителя представлены в виде линейной комбинации двух слагаемых , где и фиксированные числа, то определитель равен линейной комбинации двух определителей
.
Например,
.
4. Определитель матрицы с двумя одинаковыми столбцами равен нулю.
6. Если некоторый столбец матрицы состоит из нулей, то определитель этой матрицы равен нулю.
7. Если к элементам одного столбца определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится. Например,
.
2.3. Алгебраические дополнения. Миноры. Формулы разложения определителя по столбцу или строке
Рассмотрим определитель матрицы
.
Выделим в этом определителе произвольный элемент , соберем в правой части равенства все члены определителя, в которые входит , и вынесем этот элемент за скобки. Величина , стоящая в скобках, называется алгебраическим дополнением элемента в определителе .
Например, в определителе третьего порядка алгебраическое дополнение элемента , а элемента .
Так как в каждый член определителя входит один и только один элемент го столбца, то можно записать, что
.
Это соотношение называется формулой разложения определителя по элементамго столбца. Аналогичная формула записывается и для любой й строки
.
Рассмотрим теперь квадратную матрицу го порядка
Выделим в этой матрице произвольные строк с номерами и столько же столбцов с номерами .Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов образуют квадратную матрицу го порядка. Ее определитель называется минором го порядка матрицы и обозначается . Всякий элемент по определению есть минор 1-го порядка, а есть минор го порядка.
Если в исходной матрице зачеркнуть строк с номерами и столбцов с номерами , то оставшиеся элементы образуют квадратную матрицу порядка .Определитель этой матрицы называется дополнительным минором для минора . Дополнительный минор к элементу обозначается .
Например, в матрице
Миноры и алгебраические дополнения связаны между собой следующим равенством: Из формул разложения определителя по строке или столбцу получаем, что
.
Обобщением этих формул является теорема Лапласа. Пусть в определителе го порядка выделены любые столбцов с номерами . Составим всевозможные миноры го порядка из элементов, находящихся на пересечении этих столбцов и произвольных строк определителя с номерами (). Тогда
,
где . Аналогичное разложение можно записать и для произвольных строк определителя
.