Упражнения

4.1. Выяснить, являются ли следующие отношения отношениями порядка и какого типа:

1. ρ={(m, n) |  kN: n=mk} на множестве А=N;

2. ρ={(M, N) | MN и NE} на множестве всех подмножеств некоторого множества Е;

3. ρ={(х, у) | х-у2  х=у} на множестве А=N;

4. xρy, если в слове у есть буква, не входящая в слово х на множестве слов русского языка;

5. хρу, если число х предшествует числу у в последовательности 2, 1, 4, 3, 6, 5, … на множестве А=Z⁺;

6. ρ={(х, у) | у находится в подчинении у х} на множестве должностей некоторой организации.

4.2. Построить минимальное отношение порядка на множестве А={a, b, c}, которое содержало бы ρ₁: ρ₁={(a, a), (b, c), (a, b)}.

4.3. Дано множество А={a, b, c, d}. На нем задано отношение ρ: ρ={(a, b), (a, c), (a, d), (b, d), (c, d)}.Проверить, является ли оно отношением порядка. Достроить его до линейного порядка. Построить диаграммы Хассе.

4.4. Доказать, что множество всех подмножеств данного множества частично упорядоченно отношением включения .

4.5. Пусть А – множество всех кривых на плоскости, каждая из которых имеет вид: у=e^-х+с, сR⁺. Является ли отношение ρ={(y, z) | y=e^-x+c₁ , z=e^-x+c₂ , c₁c₂ } отношением порядка на множестве А?

4.6. Пусть  и  на множестве N₀={0, 1, 2, } определены обычным образом. Доказать, что ◦, ◦=, ◦=N₀², где N_o=N{0}.

4.7. Доказать, что отношение ρ на множестве А есть предпорядок тогда и только тогда, когда ρ=(ρ◦ρ)J_A.

§ 5. Функциональные отношения (отображения). Виды отображений

Определение: Отношение называются функцией или отображением из множества А в множество В, если , и из того, что и , следует: .

– область определения функции

– область значений функции .

Если вместо выполняется условие , то называется частичной функцией на множестве А.

Функция из А в В обозначается: или .

Если , то пишем (y – значение функции при значении аргумента x).

Виды отображений:

Определение: Отображение называется инъективным, если .

Определение: Отображение называется сюръективным, если , т.е. : .

Определение: Отображение называется биективным (взаимно однозначным отображением А на В), если оно одновременно инъективно и сюръективно.

Множество всех функций из А в В обозначается через , т.е. .

Функция называется n-местной функцией из А и В.

Если y – значение n-местной функции при значении аргумента , то пишем .

Упражнения

5.1. Какие из следующих отношений являются функциями?

а) =(1, 2), (2, 3), (5, 7), (0, 4), (, ), (*, );

б) =(1, 2), (2, 3), (5, 7), (0, 4), (, ), (5, );

в) =(х, у) | х, уR, х делится на у;

г) =(х, у) | х, уR, у=х³-1;

д) ху, если прямая х параллельна прямой у (на множестве всех прямых плоскости);

е) ху, если человек х преподаватель человека у (на некотором множестве людей);

ж) =(х, у) | х, уR, (х-2)²+у²=5;

з) =(х, 3|x|) | хR;

и) ху, если прямая х перпендикулярна прямой у (на множестве всех прямых плоскости);

к) ху, если у – количество букв в слове х (на множестве всех слов русского языка);

5.2. Установить вид следующих отображений:

а) А – множество слов русского языка, В – множество букв алфавита русского языка,

f – отображение, которое каждое слово из А отображает в его первую букву,

g – отображение, которое каждое слово из А отображает в его вторую букву.

б) f: ZZ f(x)=2x+3;

в) f: RR f(x)=е^х;

г) f: RR f(x)=х³-х;

д) f: ZZ f(x)=x+5;

е) f: RR f(x)=хSinx

ж) f: RR f(x)=х²

5.3. Пусть Х – конечное множество и отображение f: ХХ инъективно. Доказать, что f биективно.

5.4. Доказать, что отображение f: XY имеет обратное отображение f^-1: YX тогда и только тогда, когда f – биекция.

5.5. Пусть f: АВ, где А и В – конечные множества, состоящие из n элементов каждое. Доказать, что:

а) если f инъективно, то f сюръективно;

б) если f сюръективно, то f инъективно.