Примеры

Операции над множествами

1. Объединение (сумма) множеств A и B обозначается :

2. Пересечение (произведение) множеств A и B обозначается :

3. Разность множеств A и B (относительное дополнение множества B до множества A) обозначается :

4. Отрицание множества A (абсолютное дополнение множества A) обозначается :

5. Симметрическая разность множеств A и B обозначается :

Основные тождества алгебры множеств

1. 1´.

идемпотентность

2. 2´.

коммутативность

3. 3´.

ассоциативность

3. 

4. 

дистрибутивность

5. 5´.

6. 6´.

7. 7´.

8. 8´.

законы де Моргана

9. 9´.

законы поглощения

10. 10´.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Упражнения

1.1. Принадлежат ли числа 1, 3 следующим множествам: А₁=1, А₂=1, А₃=1, 2, А₄=2, -1, А₅=1, 2, А₆=х | х=3k, kZ, А₇=x / х²-1=0, хQ.

1.2. Определить, является ли одно из следующих множеств А₁, А₂ собственным подмножеством другого:

а) А₁=1, 2 А₂=1, 2

б) А₁=ромбы А₂= параллелограммы

в) А₁=1 А₂=1, 1, 2

г) А₁= 1, 2, 1 А₂= 2, 1, 1, 1, 1

д) А₁=Иванов и родственники Иванова; А₂=Иванов, отец Иванова.

е) А₁=правильные многоугольники; А₂=квадраты.

1.3. Указать множество всех подмножеств множества А:

а) А=1, 2 б) А= , , 

1.4. Вывести формулу для количества подмножеств n-элементного множества.Сколько различных подмножеств имеет множество, состоящее из десяти элементов?

1.5. Найти АВ, АВ, А\В, А+В, В\А, если:

а) А=0;8 В=-5;1

б) А=(-;5 В=0;+)

в) А=х | х=2k, kN В=х | хN

г) А= х | х²+5х+6=0, хR В=х | х³+5х²+6х=0, хR

1.6. Найти множество А\(С), если А=(-1;+), В=(-;1), С=3;+).

1.7. Изобразить на кругах Эйлера-Венна следующие множества:

, (А\В)\С, (А\С)\В, (А+В)С.

1.8. Записать множества, изображенные на кругах Эйлера-Венна:

а) б)

U

А

В

В

U

А

в

А

) г)

В

С

1.9. Из 220 школьников 163 играют в баскетбол, 173 – в футбол, 24 не играют в эти игры. Сколько человек играют одновременно и в баскетбол и в футбол?

1.10. Каждый студент группы обладает хотя бы одним из признаков: юноша, волосы крашеные, получает стипендию. Юношей в группе 12, из них 3 покрасили волосы, а 8 получают стипендию. Всего в группе 6 студентов с крашеными волосами, из них 2 получают стипендию и 1 из двоих – юноша. Стипендию получают 14 человек, из них 8 – юношей. Сколько студентов в группе?

1.11. В диско-клубе собрались представители двух молодежных организаций: комсомола и «Яблоко». Комсомольцев было 24, юношей – 16. Причем юношей-комсомольцев было столько же, сколько девушек – «яблочниц». Сколько человек было на встрече?

1.12. Множество М состоит из m лиц, владеющих хотя бы одним иностранным языком – английским, французским или немецким. Известно, что английским языком владеют 70 лиц, французским – 65, немецким – 50, английским и французским – 40, английским и немецким – 30, французским и немецким – 20, а всеми тремя языками – 5 лиц. Найти m.

1.13. Упростить запись множества, используя основные равенства алгебры множеств:

а)

б)

в)

г)

д)

1.14. Доказать тождества и показать их верность на кругах Эйлера-Венна:

а)

б)

в)

г)

д)