Случайная величина «хи-квадрат»

Эллипсоиды произвольной мерности связаны с распространенной в математической статистике СВ «хи-квадрат» с n степенями свободы

.

Вероятность попадания в n-мерный эллипсоид B_k,n – это значение функции распределения СВ , которую можно привести к виду, удобному для вычислений:

(7.15)

где , – отношение полуосей n-мерного гиперэллипсоида рассеивания к соответствующим главным СКО.

Рис. 7.3. Вероятность попадания в эллипсоиды рассеивания

Вычисление по формулам (7.15) можно выполнять с помощью электронной формулы p_Ellipsoid (Приложение 7, Листинг 7.1), которая получает аргумент k в векторной форме, позволяя одновременно вычислить вероятности попадания в эллипсы разных размеров. Графики зависимости вероятности попадания от размеров эллипсоидов при числах измерений 2, 3, 4, 10, 20, 30 (рис. 7.3) построены командой:

>> hold on,k=0.2:0.2:6; I=[2 3 4 10 20 30];

>> for n=I P=p_Ellipsoid(k,n); plot(k,P),end

Закон распределение n-мерного промаха

Если рассеивание по всем направлениям одинаково ₁ = ₂ = … = _n =  (круговое, шаровое рассеивание), можно говорить о распределении расстояния от случайной точки до центра рассеивания – n-мерного промаха R_n. Функция распределения получается подстановкой в формулу (7.14) k = r/σ, а плотность распределения промаха – дифференцированием F_n(r)

(7.16)

где – гамма-функция.¹

Числовые характеристики n-мерного промаха

Выразим через гамма-функцию МО n-мерного промаха Rⁿ:

(7.17)

Второй начальный момент легко определить как МО суммы квадратов независимых СВ:

(7.18)

Закон Рэлея и его числовые характеристики

При круговом рассеивании на плоскости вероятность попадания в круг радиуса r, центр которого совпадает с центром рассеивания, можно вычислить по формуле (7.12) при k = r / :

P(X2 + Y2  r2) = 1 – .

(7.19)

Промах подчиняется закону Рэлея:

F(r) = P(R < r) =	(7.20)
f(r) = , r > 0,	(7.21)

МО и дисперсию закона Рэлея получим из (7.16), (7.17) при n = 2:

m_r = M[R] =

Мода и медиана закона Рэлея:

Срединный промах в 1.75 раз больше срединного отклонения

Рис. 7.4. Распределение Рэлея и его характеристики положения

Радиус круга, в который попадает половина всех случайных точек при круговом нормальном рассеивании, называется срединным (вероятным) промахом или круговым вероятным отклонением (КВО) E_k = Me = 1,177 = 1,75E (здесь  и E = 0,677 – координатные СКО и срединное отклонение). На рис. 7.4 совмещены вместе с плотностью распределения Рэлея единичный круг рассеивания радиусом σ, круг радиуса E_k, в который попадает половина всех реализаций промаха.

Для сравнения на оси абсцисс выделена полоса шириной 2E, в которую попадает половина всех реализаций одной координаты. КВО больше наивероятнейшего промаха, совпадающего с радиусом единичного круга рассеивания, вероятность попадания в который равна 1 – exp(–0.5) = 0,393, и чуть меньше среднего промаха m_r = 1,25 > 1,117 = E_k .