_Лекция

₈

Система произвольного числа случайных величин

Системы двух СВ – частный случай многомерных случайных векторов, вероятностный смысл которых не зависит от числа компонент. Фрагмент естественного дробления может иметь несколько случайных свойств (длина, масса, параметр формы). Точка срабатывания БП имееет координаты (X, Y) или (X, Y, Z) в зависимости от типа взрывателя, а в n выстрелах систему образуют координаты точек падения на плоскости (X₁, Y₁,  …, X_n, Y_n). Cпособы описания случайных векторов допускают обобщение. Так, плотность распределения промаха содержит размерность пространства как параметр. Но c увеличением размерности свойства случайных векторов становятся разнообразнее. В отличие от системы двух СВ, проекции многомерных систем также могут быть системами (подсистемами).

Функция распределения системы св

Функция распределения F(x₁, …, x_n) = P(X₁ < x₁, …, X_n < x_n) неотрицательна, монотонно возрастает по каждому аргументу, обращается в ноль, если хотя бы один аргумент меньше нижнего предела возможных значений, порождает частные распределения на бесконечных значениях остальных СВ:

F(x₁, …,–  ,…x_n) = 0,

F(x₁, , …, ) = P(X₁< x₁) = F₁(x₁),

…

F(, …, , x_n) = P(X_n < x_n) = F_n(x_n).

Кроме частных одномерных распределений в системе n СВ можно выделить подсистемы. Например, в системе (X₁,   …, X_n) можно выделить подсистему (X₁,   …, X_k), описываемую частной функцией распределения:

F(x₁, …, x_k,  ,…,  ) = P(X₁< x₁,…, X_k < x_k) = F_1…k(x₁,…, x_k).

Системы непрерывных св

Системы непрерывных СВ имеют непрерывную и дифференцируемую по всем аргументам функцию распределения и смешанную частную производную – совместную плотность распределения системы:

(8.1) (8.2)

Функция совместной плотности порождает частные распределения

плотности совместного распределения подсистем

,

а также условные законы распределения подсистем при фиксированных значениях остальных компонент:

.

(8.3)

Теорема умножения плотностей

Подсистема (X₁,…, X_k) независима от остальных СВ системы, если ее условный и частный законы распределения совпадают. Тогда совместная плотность системы равна произведению частных законов распределения:

.

(8.4)

В системе независимых СВ (X₁,…, X_n) любая подсистема не зависит от остальных СВ и подсистем. Только в этом случае закон распределения системы получается как произведение плотностей отдельных СВ:

.

(8.5)

Пример 1: координаты точки срабатывания дву

Рис. 8.1.

Система (X, Y, Z) – координаты точки срабатывания ДВУ в декартовой системе Oxyz, ориентированной так, что плоскость xOy перпендикулярна расчетной траектории (картинная плоскость). Координата z в данном случае не зависит от координат x, y следа траектории в картинной плоскости (рис. 8.1):

f_z|xy(z|x,y) = f_z(z), f(x,y,z) = f_z(z) f_xy(x, y).

Подсистема (X, Y) не зависит от Z, поэтому f_xy|z(x, y | z) = f_xy(x, y). Надлежащим выбором координатных осей в картинной плоскости можно добиться и независимости между X и Y, тогда

f_xy(x, y) = f_x(x) f_y(y) и f(x, y, z) = f_x(x) f_y(y) f_z(z).

Пример 2: координаты точки срабатывания нву

Рис. 8.2.

Система (X, Y, Z) – точки срабатывания НВУ в целевой системе координат, ориентированной так, что ось z направлена против вектора относительной скорости. Идеальное НВУ сработало бы на некоторой поверхности срабатывания z = (x, y), но из-за случайных ошибок точка срабатывания отклоняется вдоль траектории (рис. 8.2). Условные распределения f(z|x, y) подчиняются нормальному закону с условным МО m_z|xy = (x, y). Координаты X, Y могут быть независимы друг от друга, тогда плотность объемного рассеивания можно представить следующим образом:

f(x, y, z) = f_x(x) f_y(y) f_z|xy(z|x, y).

Числовые характеристики многомерных распределений

Наглядное и часто вполне достаточное представление о системах СВ дают их числовые характеристики. В системе (X₁,…, X_n) можно определить:

а) n комплектов числовых характеристик отдельных СВ

(8.6) (8.7)

б) числовые характеристики условных распределений отдельных СВ

(8.8) (8.9)

где , и т.д. для всех условных распределений;

в) числовые характеристики всевозможных подсистем, главным образом, вторые смешанные моменты между парами СВ:

(8.10)