4.1. Принцип Даламбера

Принцип Даламбера дозволяє приводити всі задачі, які відносяться до руху тіл, до більш простої задачі про рівновагу.

Сучасне трактування принципа Даламбера з використанням поняття сили інерції, яке було уведено в механіку на початку ХІХ століття, є фундаментом важливого метода технічної механіки – метода кінетостатики.

Розглянемо матеріальну точку М масою m, що рухається з деяким прискоренням вздовж траєкторії АВ. Припустимо, що на точку діє система активних сил, рівнодіючу яких позначимо через , а також реакції в’язей (у випадку якщо точка є невільною) з рівнодіючою (рис.4.1).

Тоді, згідно з рівнянням динаміки для невільної точки (3.7):

,

або (4.1)

Позначимо:

. (4.2)

Рис.4.1

Вектор називають даламберовою силою інерції. Її можна розглядати як силу, з якою точка діє на тіла, що надають прискорення даній точці.

Сила інерції матеріальної точки за величиною дорівнює добутку маси точки на модуль її прискорення і має напрям, протилежний напряму прискорення (але не руху).

Таким чином, рівність (4.1) набуває вигляду:

.

(4.3)

Останнє рівняння і виражає принцип Даламбера:

для невільної матеріальної точки в кожний момент часу сума активних сил, що прикладені до точки, реакцій її в’язей і сили інерції дорівнює нулю.

При координатному способі задання руху в системі відліку векторне рівняння (4.3) переходить в систему скалярних рівнянь:

(4.4)

Якщо ж рух точки задано натуральним способом, то будемо мати систему таких рівнянь:

(4.5)

В рівняннях (4.4) і (4.5) ; ; ;

- тангенціальна складова сили інерції;

- нормальна (відцентрова) сила інерції;

(рис.4.2).

Рис.4.2

Принцип Даламбера для механічної системи

Нехай у довільній точці масою системи, що складається з матеріальних точок, прикладені активна сила і реакція в’язі . Тоді для ї точки рівняння кінетостатики запишеться так:

, .

(4.6)

Підсумуємо рівняння по всіх точках механічної системи і дістанемо:

(4.7)

Позначивши головні вектори активних сил, реакцій в’язей і сил інерції відповідно через , вираз (4.7) запишемо у вигляді:

.

(4.8)

Припустимо, що положення ї точки даної системи в декартових координатах визначається радіусом-вектором . Помножимо його векторно на сили, які входять до рівняння (4.6), і визначимо їх моменти відносно центра О:

,

або:

.

Підсумуємо останні співвідношення по всіх точках системи:

.

(4.9)

Якщо використати поняття головних моментів цих сил, то останнє рівняння набуває такої форми:

.

(4.10)

Рівняння (4.8) і (4.10) виражають принцип Даламбера для механічної системи: в кожний момент часу векторні суми головних векторів активних сил, реакцій в’язей і сил інерції і головних моментів цих же сил відносно обраного центра дорівнюють нулю.

Отриманим векторним рівнянням (4.7) і (4.9), чи (4.8) і (4.10) відповідають шість алгебраїчних рівнянь в координатній формі:

(4.11)

Оскільки головний вектор і головний момент внутрішніх сил дорівнюють нулю, то в рівняннях (4.11) внутрішні сили відсутні.