3. Динаміка

3.1. Динаміка і її основні задачі

Два попередні розділи курсу механіки – статика і кінематика – по суті мало зв’язані між собою. Кожному з них відповідає своє окреме коло понять, задач і методів їх розв’язання. У статиці розглядаються задачі на рівновагу, а також задачі еквівалентних перетворень систем сил; при таких перетвореннях навіть не постає питання про те, який рух тіла викликають прикладені сили. У кінематиці вивчається рух «сам по собі» без зв’язку з тими силами, під дією яких він відбувається.

Динаміка - це основний розділ теоретичної механіки, де узагальнюються положення і висновки, отримані в статиці і кінематиці; тобто динаміка вивчає механічний рух матеріальних об’єктів, що виникає під дією сил, прикладених до цих об’єктів.

Саме у динаміці ставляться і розв’язуються дві основні задачі механіки: а) за відомим законом руху матеріального об’єкта потрібно визначити сили, які цей рух викликають (перша або пряма задача); б) за відомими силами, що діють на матеріальний об’єкт, потрібно знайти закон його руху (друга або обернена задача).

Звичайно динаміку в залежності від конкретного поняття матеріального об’єкта поділяють на три частини: динаміку матеріальної точки, динаміку системи матеріальних точок і динаміку твердого тіла.

0. 3.2. Динаміка матеріальної точки

Фундаментом класичної динаміки є другий закон Ньютона, який називають основним законом динаміки. Нагадаємо, що математична форма запису цього закону для матеріальної точки дається рівнянням:

де: - маса точки; - швидкість точки; - рівнодіюча всіх сил, прикладених до точки.

В тих випадках, коли можна прийняти умову про сталість маси, основне диференціальне рівняння динаміки точки набуває вигляду:

або

(3.1)

( - абсолютне прискорення точки).

3.2.1. Диференціальні рівняння руху матеріальної точки

Як відомо, положення матеріальної точки в інерціальній системі відліку визначається її радіусом-вектором . Сила , що діє на точку, може залежати від положення точки, тобто від радіуса-вектора (наприклад, сила тяжіння), швидкості точки (наприклад, сила опору) і часу . Отже, в загальному випадку основне диференціальне рівняння (3.1) можна записати в такій формі:

(3.2)

Це рівняння називається диференціальним рівнянням руху матеріальної точки у векторній формі.

Диференціальне рівняння у векторній формі еквівалентне певній системі скалярних (алгебраїчних) рівнянь. В залежності від вибору координатних осей, на які проектується основне рівняння динаміки (3.1), отримують різні форми скалярних диференціальних рівнянь руху матеріальної точки.

Так, якщо спроектувати рівняння (3.2) на координатні осі декартової нерухомої системи координат, то будемо мати:

(3.3)

У спрощеній формі запису ця система рівнянь набуває вигляду:

(3.4)

Рис.3.1

При використовуванні природної системи координат для опису руху матеріальної точки потрібно спроектувати основне диференціальне рівняння динаміки (3.2) на осі природного тригранника (рис.3.1); в результаті отримаємо співвідношення:

(3.5)

де - проекції рівнодіючої сил на дотичну, головну нормаль і бінормаль.

Якщо згадати відомі з кінематики вирази для проекцій повного прискорення точки на ті ж напрями, то отримаємо:

або

(3.6)

В цих рівняннях - дугова координата (закон руху точки вздовж траєкторії); - радіус кривизни в поточній точці траєкторії.

Основний закон динаміки і, відповідно, його математичні вирази, наведені вище, сформульовані для вільної матеріальної точки. Якщо на точку накладено певні в’язі, тобто вона є невільною, то на підставі принципу звільнення від в’язей до заданих (активних) сил, що діють на точку, потрібно додати відповідні сили реакції і розглядати матеріальну точку як вільну. Тоді основне рівняння динаміки буде мати вигляд:

,

(3.7)

а алгебраїчні диференціальні рівняння руху точки в проекціях на осі декартової системи координат і на осі природного тригранника наберуть такої форми:

(3.8)

і

(3.9)

В цих рівняннях - рівнодіюча реакцій в’язей; - складові реакцій в’язей.