3.4.3. Кінетична енергія і робота. Теореми про зміну кінетичної енергії

Кінетична енергія також є мірою механічного руху матеріальних об’єктів, але на відміну від кількості руху і кінетичного момента, які використовують для характеристики відповідно поступального і обертального рухів, вона існує при будь-якому русі матеріальної точки чи механічної системи.

В свою чергу, кінетична енергія тісно пов’язана з поняттям роботи сили.

3.4.3.1. Кінетична енергія

Кінетичною енергією матеріальної точки називається скалярна величина, що дорівнює половині добутку її маси на квадрат швидкості точки:

.

(3.89)

З визначення кінетичної енергії виходить, що вона є скалярною додатною величиною; одиниця її вимірювання або .

Кінетичною енергією механічної системи називають суму кінетичних енергій всіх точок цієї системи:

.

(3.90)

При поступальному русі твердого тіла миттєві швидкості всіх його точок однакові і дорівнюють швидкості центра мас тіла. Тому формула (3.90) набуває вигляду:

,

(3.91)

де - маса тіла.

При обертанні тіла навколо нерухомої осі (наприклад, осі ) лінійна швидкість -ї точки тіла , де - відстань точки до осі обертання. Тоді:

,

(3.92)

оскільки - момент інерції тіла навколо осі обертання.

Плоскопаралельний рух тіла можна розглядати як миттєвообертальний навколо осі, що проходить через МЦШ Р. Отже, на підставі (3.92), отримаємо:

,

(3.93)

де - момент інерції тіла навколо осі, що проходить через МЦШ.

Але користування формулою (3.93) не завжди зручно, бо положення миттєвого центра швидкостей при русі тіла змінюється і величина також буде змінною.

За теоремою Гюйгенса:

,

де: - момент інерції тіла відносно осі, яка проходить через центр мас С тіла паралельно до миттєвої осі обертання. Крім того, якщо швидкість центра мас тіла виразити через добуток кутової швидкості тіла на відстань центра мас до МЦШ - , то (3.93) набуває вигляду:

.

(3.94)

Тобто, кінетична енергія тіла при плоскопаралельному русі складається з енергії поступального руху зі швидкістю центра мас і енергії обертального руху навколо центра мас.

3.4.3.2. Робота сили

Для характеристики ефекту дії сили на матеріальний об’єкт при його переміщенні користуються поняттям роботи сили.

Розглянемо рух матеріальної точки М під дією сили вздовж криволінійної траєкторії (рис. 3.18). За нескінченно малий проміжок часу радіус-вектор точки отримає приріст , який називають елементарним переміщенням точки .

Рис. 3.18

Скалярний добуток вектора сили на елементарне переміщення точки називають елементарною роботою сили:

.

(3.95)

Робота сили на будь-якому скінченому переміщенні точки її прикладання (рис.3.18) визначається як границя інтегральної суми відповідних елементарних робіт:

.

(3.96)

В системі СІ одиницею роботи є Джоуль: .

Якщо вектор сили і вектор елементарного переміщення точки розкласти по координатних осях:

, , то отримаємо аналітичні вирази роботи сили:

.	(3.97)
і .	(3.98)

Останні дві формули визначають роботу сили при координатному способі завдання руху.

Скористаємось співвідношенням для визначення проекції швидкості точки в системі координат :

, з яких виходить, що . Тоді:

,	(3.99)
.	(3.100)

В натуральній системі координат елементарне переміщення , де -орт дотичної; - диференціал дуги траєкторії точки, тому елементарна робота сили:

.

(3.101)

Відповідно, повна робота сили:

.

(3.102)

В останній формулі - дугові координати, які відповідають положенням матеріальної точки на її траєкторії (рис.3.18).

В інженерній практиці користуються поняттям потужності, якою оцінюють роботу сили за одиницю часу:

.

З урахуванням рівняння (3.99), отримаємо:

.

(3.103)

Тобто, потужністю сили називається величина, що дорівнює скалярному добутку вектора сили на вектор швидкості точки її прикладання.

Розглянемо приклади обчислення роботи деяких сил.

1. Робота сили тяжіння матеріальної точки. Припустимо, що точка М, на яку діє сила ваги , переміщується з положення в системі координат в положення , причому вісь напрямлена вертикально вверх (рис.3.19).

Рис.3.19

В цьому випадку і згідно з формулою (3.98)

.

(3.104)

Позначимо вертикальне переміщення точки через . Тоді при буде додатною величиною, а при - від’ємною. З урахуванням цього можна записати, що

.

(3.105)

2. Робота сили тяжіння механічної системи. Для системи, що складається з матеріальних точок, робота сили ваги ї точки масою :

.

Для механічної системи в цілому сумарна робота сил тяжіння:

,

(3.106)

де - маса всієї системи; початкова і кінцева висотні координати центра мас системи.

Якщо позначити , то:

.

(3.107)

де - зміна висотного положення центра мас системи. З наведених формул виходить, що робота сил тяжіння не залежить від форми траєкторії, вздовж якої рухається матеріальний об’єкт, а визначається тільки різницею його висотного положення на початку і в кінці руху.

3. Робота сили пружності. В загальному випадку лінійна сила пружності відповідає закону Гука:

,

де - радіус-вектор, яким визначається відстань точки від положення рівноваги; с- коефіцієнт жорсткості. Якщо брати за положення рівноваги початок системи координат (рис. 3.20), то ; ; .

Рис. 3.20

Роботу сили на переміщенні від положення до положення визначимо за формулою (3.98):

.

Тут враховано, що і .

Проінтегрувавши, отримаємо:

.

(3.108)

Для пружини з початковою деформацією і кінцевою , формула набуває вигляду:

.

(3.109)

4. Робота сили, прикладеної до твердого тіла що обертається навколо осі. Розглянемо випадок, коли сила прикладена до деякої точки К твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої осі (рис.3.21).

z

Рис.3.21

Розкладемо цю силу по осях натурального тригранника . Так як складові і перпендикулярні до переміщення точки К їх прикладання, то робота цих складових на елементарному переміщенні дорівнює нулю. Отже, виходить, що:

.

Тут - відстань точки К від осі обертання; - елементарний кут повороту. Але , тому

.

(3.110)

Таким чином, елементарна робота сили, прикладеної до будь-якої точки твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі, дорівнює добутку момента сили відносно осі обертання на диференціал кута повороту тіла.

Повна робота сили при повороті тіла на скінчений кут:

.

(3.111)

В частинному випадку, якщо , отримаємо:

.

(3.112)

З рівняння (3.110) виходить співвідношення для визначення потужності момента сили:

.

(3.113)

5. Робота сил тертя, прикладених до тіла, яке котиться.

Хай на коток радіуса і вагою , що котиться без ковзання по деякій площині, діє сила тертя ковзання (рис.3.22).

Рис.3.22

Ця сила прикладена в точці контакту котка і площини. Згідно із визначенням елементарна робота сили . Але в кожний момент часу точка В співпадає з МЦШ котка і тому . Так як , то .

Таким чином, при коченні без ковзання робота сили тертя ковзання на будь-якому переміщенні тіла дорівнює нулю.

Опір коченню створює пара сил , момент якої , де - коефіцієнт тертя кочення. Тоді відповідно до формули (3.110):

,

(3.114)

де - елементарне переміщення центра мас С котка, що дорівнює .

Якщо нормальна реакція , то робота момента сил опору коченню

.

(3.115)