1. Статика твердого тіла

Статика є розділом теоретичної механіки, в якому розглядаються властивості сил, а також умови рівноваги абсолютно твердого тіла або системи таких тіл під дією прикладених до них сил.

Статика – вельми важливий розділ курсу теоретичної механіки не тільки тому, що методи статики широко використовуються в суміжних дисциплінах (механіка матеріалів, теорія механізмів і машин, деталі машин та інш.), але і тому, що методи її покладені в основу розв’язання задач динаміки за допомогою принципу Даламбера (метод кінетостатики).

Математичний апарат статики базується на обмеженій кількості істин (аксіом), частина яких безпосередньо виходить із законів Ньютона.

1. Аксіоми статики вільного твердого тіла

Аксіома 1. Дві сили, прикладені до вільного твердого тіла, взаємно зрівноважуються тоді і тільки тоді, коли вони рівні за величиною і діють вздовж однієї прямої в протилежних напрямах (рис.1.1).

Математично аксіома 1 виражається таким чином:

рівність модулів сил: , (1.1')

протилежність напрямів: ,

напрям векторів сил вздовж однієї прямої в протилежні сторони забезпечує векторне рівняння рівності за модулем і протилежності знаків моментів даних сил відносно будь-якої точки О, що не лежить на прямій MN (рис.1.1), тобто

. (1.1'')

Потрібно мати на увазі, що ця аксіома справедлива тільки для абсолютно твердого тіла; для тіл, що можуть деформуватися, вона не завжди справедлива.

М

О

О

Рис. 1.1

Аксіома 2. Дія на тверде тіло системи сил не змінюється від додавання до неї, чи відкидання від неї зрівноваженої системи сил.

Таким чином, згідно з аксіомою 2, стан спокою або характер руху твердого тіла не змінюється при додаванні до цього тіла або відкиданні від нього зрівноваженої системи сил.

Аксіома 3. Рівнодіюча двох сил, прикладених до однієї точки твердого тіла під кутом одна до одної, визначається за величиною і напрямом діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах цих сил як на сторонах (рис.1.2).

В

С

D

D

А

D

D

Рис.1.2 Рис.1.3

Ця аксіома може бути застосована до будь-яких тіл, не обов’язково до абсолютно твердих.

Заміна двох сил рівнодіючою за правилом паралелограма є не що інше, як векторне додавання. Тому:

.

(1.2)

Модуль рівнодіючої двох сил знаходять за формулою визначення довжини діагоналі паралелограма:

.

(1.3)

Висновок з аксіоми 3. Будь-яку силу можна розкласти на складові по двох довільних напрямах за правилом паралелограма (рис.1.3).

.

2. Дві найпростіші теореми статики

1.2.1. Теорема 1. Дія сили на абсолютно тверде тіло не змінюється, якщо початок вектора сили, прикладеної до цього тіла, перенести вздовж лінії її дії в будь-яку точку тіла.

Нехай на тверде тіло діє сила , прикладена в точці А (рис.1.4). Оберемо на лінії дії цієї сили довільну точку В в прикладемо до неї зрівноважені сили і , такі, що . Очевидно, сили і також утворюють зрівноважену систему сил, яку на підставі аксіоми 2 можна відкинути. Залишається сила , що і потрібно було довести.

Як відомо з математики, вектор, який можна переносити вздовж лінії його дії, називають ковзним. Таким чином, з доведеної теореми випливає, що сила, яка діє на абсолютно тверде тіло, є ковзним вектором.

Слід також відмітити, що дана теорема стосується тільки абсолютно твердого тіла; для тіл, що деформуються, перенос точки прикладання сили змінює її вплив на тіло.

1.2.2. Теорема 2. Вільне тверде тіло може знаходитися в рівновазі під дією трьох непаралельних сил, що лежать в одній площині, тільки тоді, коли лінії дії цих сил перетинаються в одній точці.

Припустимо, що на тверде тіло діють три непаралельні сили: , які прикладені в точках С, D, В, а лінії дії двох з них, наприклад, і , перетинаються в точці А (рис.1.5). Перенесемо сили і до цієї точки і на підставі аксіоми 3 замінюємо їх рівнодіючою . Тепер на тіло діють тільки дві сили: і , рівновага яких за аксіомою 1 можлива тільки тоді, коли вони будуть рівними за модулем і напрямлені вздовж однієї прямої. А це означає, що лінія дії сили також буде проходити через точку А перетину ліній дії сил і .

Доведену теорему називають теоремою про три сили. Вона дає лише необхідну умову рівноваги тіла під дією трьох сил. Але для рівноваги тіла зовсім не достатньо, щоб лінії дії трьох сил перетиналися в одній точці.