6.1.3. Распределение с максимальной энтропией
В разделе 1.4. рассказывалось о втором законе термодинамике. Этот закон постулирует, что полная энтропия в закрытой системе только возрастает. Простая экономика и идеальный газ — это закрытые системы. Из второго закона вытекает, что равновесное распределение, которое, как мы наблюдали, оказалось экспоненциальным, должно быть распределением, в котором энтропия максимальна, при учете общего ограничения на количество денег в экономике (или общей энергии газа). Давайте проверим. Рассмотрим следующую меру энтропии для простой экономики:
(6.1)
где P(m) — вероятность того, что случайный выбранный агент располагает деньгами в количестве m. В экономике M агентов и N долларов, и то, и другое сохраняется. Пусть nm — количество агентов, располагающих m долларами. Обязательно выполняются такие условия:
и
Вероятность того, что случайно выбранный агент будет располагать деньгами m равна P(m)=nm/N. Если мы подставим nm=P(m)N в приведенные выше два уравнения, то получим два ограничения на вероятности:
- простое ограничение, что сумма всех вероятностей должна быть равна единице и
- ограничение, что вероятности должны соответствовать ограничению на общее богатство.
Математическая
задача - найти формулу для P(m), учитывающую
ограничения и максимизирующую значение
энтропии. Задача может быть решена
многими способами, подробности которых
для нас не важны 3 . Оказывается,
что решение на самом деле — (экспоненциальное)
распределение Больцмана-Гиббса
Экспоненциальное
распределение богатства, следовательно,
- наиболее беспорядочное
распределение, которого можно достичь
при единственном ограничении на систему
— сохранении энергии. Ясно, что если
экономическая система состоит из более
сложных агентов типа «экономических
демонов», которые, например, создали
союзы или разработали совместные планы,
направленные на сознательное изменение
распределения доходов, тогда необходимо
вводить новые ограничения на вероятности,
и математические рассуждения будут
другими. Но тот факт, что большинство
полученных эмпирическим путем
распределений доходов в капиталистических
экономиках оказываются экспоненциальными,
говорит о том, что такие факторы не
являются значимыми.
В реальности, в отличие от модели простой экономики, существует множество схем перераспределения денег, например, ограниченное перераспределение дохода через государственные налоги. Удивительно, но подобные механизмы не влияют на общую функциональную форму распределения доходов. Рынки имеют очень прочную тенденцию к максимизации энтропии. Они создают крайне неравномерные, преимущественно экспоненциальные, распределения доходов.
Мы вернемся к вопросу распределения доходов в главе 9, где узнаем, что полное распределение доходов имеет меньшую энтропию, чем экспоненциальное. Поэтому действуют еще какие-то причины, отсутствующие в модели простой экономики, налагающие дополнительные ограничения на вероятности P(m). Отсюда следует, что проводится какая-то уменьшающая энтропию работа «демонов», результатом которой становится «сортировка» денег между различными экономическими классами.