2. Точки пересечения физики и топологи

2.1. Теоретические основы

На сегодня лучшими физическими теориями являются теория относительности и Стандартная модель физики частиц. Первая описывает гравитационное взаимодействие, не принимая во внимание квантовую теорию; вторая описывает все остальные виды взаимодействий, используя квантовую теорию, но не включает гравитацию. Таким образом, современная картина мира глубоко противоречива. Область деятельности, в рамках которой физики пытаются разрешить данную проблему, называется квантовой гравитацией, поскольку широко распространено мнение, что решение может быть найдено, если рассматривать гравитацию, принимая во внимание квантовую теорию.

Никто не может сказать с уверенностью, что знает решение, но существует поразительное сходство между двумя главными подходами — теорией струн и петлевой квантовой гравитацией. Обе теории опираются на аналогии в физике и топологии, показанные в Таблице 2. В столбце слева мы видим основной элемент квантовой теории — категорию , объектами которой являются гильбертовы пространства, используемые для описания физических систем, а морфизмами — линейные операторы, которые используются для описания физических процессов. В правом столбце показан основной элемент дифференциальной топологии — категория . Её объектами являются ()-мерные многообразия, используемые для представления пространства, а морфизмами являются -мерные бордизмы, используемые для представления пространства-времени.

Физика	Топология
Гильбертово пространство (система)	()-мерное многообразие (пространство)
Оператор между гильбертовыми пространствами (процесс)	Бордизм между ()-мерными многообразиями (пространство-время)
Композиция операторов	Композиция бордизмов
Оператор тождества	Бордизм тождества

Таблица 2. Аналогии в физике и топологии

Как будет видно в дальнейшем, категории  и  обладают многочисленными структурными сходствами. Более того, обе эти категории значительно отличаются от хорошо известной категории , объектами которой являются множества, а морфизмами — функции. Это очень важно для понимания квантовой гравитации [10] и даже основ квантовой теории [11]. Предположение заключается в том, что категория  в большей степени походит на категорию , чем на , а поэтому, возможно, не стоит рассматривать квантовые процессы как функции перехода из одного множества состояний в другое. Вместо этого, возможно, стоит рассматривать их как изменение пространства-времени, происходящее между пространствами, на одно измерение меньшими.

Хотя данное предположение выглядит странным, простейшим примером его воплощения является нечто очень удобное и используемое физиками каждый день, а именно — диаграмма Фейнмана. Это — одномерный граф, располагающийся между нульмерными наборами точек, в котором рёбра и узлы помечены определённым образом. Диаграммы Фейнмана являются топологическими объектами, но используются для описания линейных операторов. Теория струн использует двумерные бордизмы, с которыми связаны дополнительные структуры — струны. Эти бордизмы выполняют ту же роль, что и диаграммы Фейнмана. Петлевая квантовая гравитация использует двумерное расширение диаграмм Фейнмана, которое называется «сплетённой пеной» [9]. Топологическая теория квантовых полей использует бордизмы высших размерностей [13]. В каждом случае процессы описываются как морфизмы в специальном виде категорий — «компактной симметричной моноидальной категории».

В данной статье не будут рассматриваться проблемы квантовой теории или квантовой гравитации. Вместо этого будут кратко описаны некоторые базовые положения теории категорий и то, как категории , , и категория танглов используются в примерах. Авторы напоминают, что категория  отличается от двух других.

Чтобы дать читателю возможность с лёгкостью оперировать используемыми в статье терминами, ниже представлена диаграмма понятий, разъясняемых в настоящем разделе:

Категория  является замкнутой декартовой категорией, в то время как категории  и  представляют собой компактные симметричные моноидальные категории.