Физика, топология, логика и теория вычислений:

новый Розеттский камень

Баез Дж. К.

Кафедра математики, Университет Калифорнии, Риверсайд, Калифорния 92521, США

(baez@math.ucr.edu)

Стэй М.

Google, 1600 Amphitheatre Pkwy, Маунтин вью, Калифорния 94043, США

(stay@google.com)

02 Марта 2009

В физике диаграммы Фейнмана применяются, когда речь идёт о квантовых процессах. В 1980-х годах было выяснено, что созданию данных диаграмм послужило поразительное сходство квантовой физики с топологией. А именно: линейный оператор очень напоминает бордизмПрямое русское соответствие «кобордизм» английскому термину cobordism является устаревшим — прим. перев. : топологическое многообразие, представляющее пространство-время, разделяется на два, представляющих пространство. В результате появилось огромное количество работ по топологической квантовой теории поля и «квантовой топологии», что было только началом, поскольку схожие диаграммы могут быть применены в логике (в виде доказательств), а также в теории вычислений (в виде программ). Усиление интереса к квантовой криптографии и квантовым вычислениям доказывает существование многочисленных пересечений между физикой, топологией, логикой и теорией вычислений. В данной пояснительной статье авторы описали некоторые из общих черт более подробно, используя понятие «замкнутая симметричная моноидальная категория». От читателя не потребуется обширных знаний в области  теории категорий, теории доказательств или информатики.

1. Введение

Теория категорий является слишком абстрактной, но можно выделить определённый способ оперирования категориями, имеющий свои аналоги в топологии, логике и теории вычислений. Категории включают объекты и морфизмы. Последние представляют собой вещи и способы перехода от одной вещи к другой. В физике под объектами обычно понимаются физические системы, а под морфизмами — процессы, которые переводят состояние одной системы в состояние другой системы (возможно, аналогичное). В квантовой физике часто используются гильбертовы пространства в качестве объектов и линейные операторы в качестве морфизмов.

Примерно в 1949 году Р. Ф. Фейнман [57] пришёл к выводу, что линейные операторы в теории квантового поля более целесообразно изображать в виде диаграмм, что позволяло представить линейный оператор визуально:

Можно изменить изображение, не меняя соответствующего оператора: в данном случае важна топология, а не геометрия. В 1970-х годах Р. Пенроуз обнаружил, что обобщения диаграмм Фейнмана применимы в различных разделах квантовой теории и даже могут привести к пересмотру наших представлений о пространственно-временном континууме [78].  В 1980-х годах было выяснено, что созданию данных диаграмм послужило поразительное сходство квантовой физики с топологией. А именно: линейный оператор очень напоминает бордизм, то есть топологическое многообразие размерности , проходящее между многообразиями с размерностями на единицу меньше:

Теория струн использует данное сходство, заменяя диаграммы Фейнмана в рамках общепринятой трактовки квантовой теории поля на двухмерные бордизмы, представляющие собой мембраны (двухмерные плоскости), по которым струны движутся во времени. Сходство линейных операторов и бордизмов также чрезвычайно важно для петлевой квантовой гравитации и, более того, для такой сугубо математической дисциплины, как «топологическая квантовая теория поля».

Тем временем, совершенно обособленно друг от друга логики стали оперировать категориями, в которых объекты представляли собой высказывания, а морфизмы — доказательства. Смысл заключается в том, что доказательство является процессом, который переводит одно высказывание (гипотезу) к другому (заключению). Позже специалисты по информатике ввели категории, в которых объектами являлись типы данных, а морфизмами — программы, а также стали использовать «диаграммы потоков» для описания программ. Отдалённо данные диаграммы напоминают диаграммы Фейнмана!

Логики и специалисты по информатике всегда работали в смежных областях. В самом деле, «изоморфизм Карри-Говарда», вводящий соответствие между доказательствами и программами, был хорошо известен с начала 1970-х годов, если не раньше [35, 52]. Однако только в 1990-х годах пути логиков и специалистов по информатике пересеклись с путями физиков и топологов. Одной из причин являлось повышение интереса к квантовой криптографии и квантовым вычислениям [28]. Кроме того, специалисты начали рассматривать квантовые процессы в качестве отдельного вида вычислительных процессов, к которым применимы идеи информатики. Впоследствии было обнаружено, что теория категорий еще более увеличивает сходство диаграмм потоков с диаграммами Фейнмана [3].

На данный момент существуют многочисленные пересечения между физикой, топологией, логикой и теорией информатики. Они предполагают, что исследования данных путей пересечения — это, по сути, попытка создания новой науки: общей науки о системах и процессах. Однако создание подобной науки будет крайне сложным, и на то есть свои причины, одной из которых является использование отличающихся друг от друга понятий в разных областях исследований.

Настоящий Розеттский камень, созданный в 196 г. до н. э., содержит три идентичных по смыслу текста: два на древнеегипетском языке — начертанных  древнеегипетскими иероглифами и египетским демотическим письмом, и один на древнегреческом. Его обнаружение солдатами Наполеона позволила современным египтологам расшифровать иероглифы. В конечном счёте человечество стало значительно лучше понимать древнеегипетскую культуру.

В настоящее время дедуктивные системы математической логики для большинства физиков по степени непонятности как раз сравнимы с иероглифами. То же самое можно сказать и о квантовой физике в глазах большинства специалистов по информатике, и т. д. Следовательно, нужен новый Розеттский камень, чтобы исследователи различных областей знаний могли понимать друг друга. Таблица 1 — авторское видение того, как мог бы выглядеть такой Розеттский камень.

Теория категорий	Физика	Топология	Логика	Теория вычислений
Объект	Система	Многообразие	Высказывание	Тип данных
Морфизм	Процесс	Бордизм	Доказательство	Программа

Таблица 1. Новый Розеттский камень (сжатая версия)

В дальнейшем данная таблица будет дополнена сравнением использования категорий в физике, топологии, логике и теории вычислений. К сожалению, вышеупомянутые области знаний оперируют различными категориями. Большинству физиков не известен тот факт, что в квантовой физике довольно долгое время применялся термин «компактные симметричные моноидальные категории». Теория танглов использует более общий термин «компактные сплетённые моноидальные категории». Но в 1990-х годах стало ясно, что данное понятие применимо и в физике. Логика и информатика оперируют «декартовыми замкнутыми категориями», где слова «декартов» и «квантовый» можно считать антонимами. Однако работы в линейной логике и квантовых вычислениях привели к тому, что некоторые логики и специалисты по информатике теперь изучают более общие виды «замкнутых симметричных моноидальных категорий».

В разделе 2 более подробно рассматриваются и сами понятия, и то, как с их помощью освещаются точки пересечения физики и топологии, и то, как работать с данными понятиями, применяя струнные диаграммы. Хотя наличия знаний в области теории категорий у читателя не предполагается, предполагается желание их получить. В разделе 3 показано, как замкнутые симметричные моноидальные категории соответствуют небольшому фрагменту обычной логики высказываний, которая в свою очередь является фрагментом «линейной логики» Жирара [43]. В разделе 4 разъясняется, каким образом замкнутые симметричные моноидальные категории соответствуют простой модели вычислений. Каждый из этих разделов начинается с определённого теоретического материала. В заключении приводится расширенная версия нового Розеттского камня.

Исследование в данной статье физики, топологии, логики и теории вычислений специалистам в данных областях может показаться поверхностным, узким и своеобразным. Что, тем не менее, простительно, поскольку авторы прежде всего заостряют внимание на определённых точках пересечения вышеперечисленных наук, не отходя при этом от темы. Чтобы облегчить работу со статьёй, в неё включены многочисленные ссылки на авторитетные источники, при помощи которых данный вопрос можно более глубоко исследовать.