38. Опишите модель Самуэльсона-Хикса. Какие экономические предположения лежат в ее основе? Запишите уравнение Хикса. В каком случае решением уравнения Хикса является стационарная последовательность?

Модель делового цикла Самуэльсона-Хикса(динамический вариант модели Кейнса). Модель основывается на принципе акселерации, т.е. на предположении, что объемы инвестирования прямо пропорциональны приросту национального дохода. Ур-е:

I_t = V(X_t-1 – X_t-2), (1)

где V>0 – фактор акселерации, I_t – величина инвестиций в период t, Y(t-1), Y(t-2) – величины национального дохода соответственно в (t-1) и (t-2) периодах. Предполагается, что спрос на данном этапе зависит от величины национально дохода на предыдущем этапе

C_t = aX_t-1 + b (2)

Условие равенства спроса и предложения имеет вид:

X_t = I_t+ C_t

Подставим (1) и (2):

Y(t) = (a+V)Y(t-1) – VY(t-2) + b - уравнение Хикса. Оно представляет собой неоднородное линейное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. (предполагается, a и V - постоянны)

Стационарная последовательность Х_t*=c=const является решением уравнения Хикса только при c=b(1-a)^-1; множитель (1-a)^-1 называется мультипликатором Кейнса (одномерный аналог матрицы полных затрат).

39. Опишите паутинную модель рынка. Какие экономические предположения лежат в ее основе? Найдите равновесное состояние паутинной модели рынка.

Рассмотрим паутинную модель рынка. При этом предположим, что спрос и предложение - линейные ф-ии, но при этом спрос зависит от цены в данный момент времени, а предложение зависит от цены на предыдущем этапе, т.е. d_t= a – bp_t (функция спроса), а s = m + np_t-1 (функция предложения), где a,b,m,n – положит. действ. числа. Таким образом, считая S_t=D_t, получаем линейное разностное уравнение a-bp_t =m+np_t-1. 1-го порядка с пост. коэффициентами.

В качестве частного решения: p_t = = const. Тогда:

.

Решая характ-е ур-е bλ + n = 0, λ = -n/b. =>

P_t= C₁(-n/b)^t + .

Таким образом динамика цен носит колебательный характер.

n<b - сходится к равновесному состоянию

n>b – удаляться от равновесного состояния

n=b – циклические колебания цены относительно равновесного состояние.

40. Сформулируйте задачу об определении текущей стоимости купонной облигации. Что такое задача Коши для разностного уравнения? Найдите равновесное решение задачи Коши об определении текущей стоимости купонной облигации. Проверьте, что найденное значение совпадает с суммой, которую необходимо уплатить в настоящий момент, чтобы в течение бесконечно длительного времени получать купонную сумму в каждом купоном периоде при заданной величине процентной ставки за один купонный период.

F – Номинальная стоимость купонной облигации(денежная сумма, выплачиваема эмитентом в момент погашения, совпадающий с концом последнего купонного периода), K – величина купона(денежная сумма, выплачиваемая в конце каждого купонного периода), P(n) – текущая стоимость облигации в конце n-го купонного периода, k – число купонных периодов, r – процентная ставка за один купонный период, в частях, постоянна.

Вышеперечисленные величины связаны между собой следующими соотношениями, представляющими собой задачу Коши:

(1)

Задача об определении текущей стоимости купонной облигации сводится к решению задачи Коши для неоднородного линейного разностного уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами. В качестве частного выберем:

P(n+1) = P(n) = P^*.

Подставим в (1):

P^* = K/r, (K/r – текущая стоимость бесконечной ренты)

Решив характеристическое уравнение:

λ-(1-r) = 0,

P(n) = C(1+r)ⁿ+(K/r) (2)

Полагая что n=k,

С=(F-K/r)(1+r)^-k. (3)

Из (2) в силу (3) следует, что последовательность P(n) будет возрастающей, если номинальная стоимость облигации выше, чем стоимость бесконечной ренты, убывающей, если она меньше, и постоянной, если они равны.

1. Теорема Фробениуса-Перрона. Определение числа и вектора Фробениуса неотрицательной матрицы. 1

2. Докажите следующее утверждение: если >0 – собственный вектор неотрицательной матрицы, то он является ее вектором Фробениуса. 1

3. Докажите следующее утверждение. Пусть s и S – минимальная и максимальная суммы элементов столбцов матрицы А. Тогда число Фробениуса λА матрицы А удовлетворяет неравенству s 1

4. Запишите структурную таблицу и уравнение межотраслевого баланса Леонтьева для трехотраслевой модели экономики; укажите экономический смысл входящих в уравнение величин. Запишите формулу вычисления элементов матрицы Л. Через известные эл-ты струт. Табл. Межотр. Баланса. 1

5. Сформулируйте и докажите первый критерий продуктивности 2

6. Докажите, что если неотрицательная квадратная матрица продуктивна, то ее число Фробениуса меньше 1 2

7. Сформулируйте определение запаса продуктивности неотрицательной матрицы. Выведите формулу для вычисления запаса продуктивности через число Фробениуса. 3

8. Запишите структурную таблицу межотраслевого баланса Леонтьева и уравнение модели равновесных цен для двухотраслевой экономики; укажите экономический смысл входящих в уравнение величин. Запишите формулу вычисления элементов матрицы Леонтьева через известные элементы структурной таблицы межотраслевого баланса. 3

9. Приведите примеры задач ЛП на минимум (задача о диете) и на максимум (задача об использовании ресурсов) 4

10. Приведите общую постановку ЗЛП. Дайте определения следующим терминам: целевая ф-ия, допустимое мн-во задачи, оптимальное решение, оптимальное мн-во. 4

11. Что такое стандартная форма ЗЛП? Что такое каноническая форма ЗЛП? Приведите пример задачи, форма которой не является ни канонической, ни стандартной. Приведите эту задачу к канонической, затем к стандартной форме. 4

12-17. Примеры задач ЛП. 5

18-25. Примеры симплекс-таблиц. 5

26.Приведите пример двух взаимно двойственных задач ЛП. Сформулируйте правило построения двойственной задачи. 5

27. Сформулируйте и докажите основное неравенство для взаимно двойственных задач ЛП. Сформулируйте достаточный признак оптимальности. 6

28. Сформулируйте первую и вторую теоремы двойственности. Докажите вторую теорему двойственности (теорему равновесия) 6

29. Приведите пример постановки транспортной задачи. Что такое оптимальный план перевозок? Что такое транспортная задача с правильным балансом? Сформулируйте критерий разрешимости транспортной задачи. 8

30. Опишите методы построения начального опорного плана транспортной задачи (метод северо-западного угла, метод минимального тарифа. 8

31.Опишите метод потенциалов. Сформулируйте определения следующих понятий: свободная клетка, занятая клетка, оценка свободной клетки, цикл, перестановка по циклу. В чем состоит условие оптимальности опорного плана? 9

32.Сформулируйте определение разностного уравнения порядка k и его общего решения. Сформулируйте определение линейного разностного уравнения порядка k с постоянными коэффициентами. Сформулируйте теоремы об общем решении однородного и неоднородного уравнения (без доказательства). 9

33. Опишите алгоритм решения однородного линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами. Сформулируйте определения следующих понятий: ФНР линейного разностного уравнения, характеристическое уравнение, определитель Казорати. 10

34-37. В каком виде нужно искать частное решение разностного уравнения. 11

38. Опишите модель Самуэльсона-Хикса. Какие экономические предположения лежат в ее основе? Запишите уравнение Хикса. В каком случае решением уравнения Хикса является стационарная последовательность? 11

39. Опишите паутинную модель рынка. Какие экономические предположения лежат в ее основе? Найдите равновесное состояние паутинной модели рынка. 11

40. Сформулируйте задачу об определении текущей стоимости купонной облигации. Что такое задача Коши для разностного уравнения? Найдите равновесное решение задачи Коши об определении текущей стоимости купонной облигации. Проверьте, что найденное значение совпадает с суммой, которую необходимо уплатить в настоящий момент, чтобы в течение бесконечно длительного времени получать купонную сумму в каждом купоном периоде при заданной величине процентной ставки за один купонный период. 12