1. Теорема Фробениуса-Перрона. Определение числа и вектора Фробениуса неотрицательной матрицы.

Для любой неотрицательной матрицы А=>0 существует собственное значение λ_А=>0 (называемое числом Фробениуса) такое, что λ_А=>|λ| для любого собственного значения λ матрицы А. Кроме того, существует неотрицательный собственный вектор _А=>0, соответствующий собственному значению λ_А и называемый вектором Фробениуса. Причём, если А>0, то λ_А>0 и _А>0

2. Докажите следующее утверждение: если >0 – собственный вектор неотрицательной матрицы, то он является ее вектором Фробениуса.

Обозначим через α собственное значение, которому принадлежит вектор , следовательно, выполнено равенство A=α Умножая его слева на ^T_A и учитывая, что ^T_AA=_A^T_A, имеем: ^T_AA=_A^T_A так что, ^T_A=_A^T_A. Поскольку по условию>0, то ^T_A 0, так что α= λ_А, ч.т.д.

3. Докажите следующее утверждение. Пусть s и s – минимальная и максимальная суммы элементов столбцов матрицы а. Тогда число Фробениуса λА матрицы а удовлетворяет неравенству s

Док-во: выберем в качестве вектора Фробениуса вектор, сумма координат которого равна 1, т.е. ^TA = 1

По определению имеем AA=λAA Умножая это равенство слева на ^T и учитывая, что =^TA, получим A = λ_А(^TA), поэтому λ_А =A = s₁x₁+s₂x₂+…+s_nx_n отсюда следует, что s(x₁+…+x_n)_AS(x₁+…x_n). Учитывая, что сумма координат вектора x_A равна 1, из неравенства получаем s

4. Запишите структурную таблицу и уравнение межотраслевого баланса Леонтьева для трехотраслевой модели экономики; укажите экономический смысл входящих в уравнение величин. Запишите формулу вычисления элементов матрицы Л. Через известные эл-ты струт. Табл. Межотр. Баланса.

Произв. Потребление	Конечное потребление	Валовой выпуск
X11 X12 … X1n	Y1	X1
X21 X22 … X2n	Y2	X2
…	…	…
X1n Xn2 ... Xnn	Yn	Xn

– уравнение межотраслевого баланса (уравнение Леонтьева). Межотраслевой баланс — экономико-математическая балансовая модель, характеризующая межотраслевые производственные взаимосвязи в экономике страны. Основная задача межотраслевого баланса состоит в нахождении такого вектора валового выпуска , который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта . Зная матрицу А и вектор остаётся решить уравнение .

5. Сформулируйте и докажите первый критерий продуктивности

Матрица А=>0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и неотрицательна. Пусть существует =>0, тогда x=(E-A)^-1y, где оба множителя >0, следовательно, x=>0, значит матрица продуктивна. Пусть А продуктивна. (E-A)x=e₁, значит с₁=>0, (E-A)x=e₂, значит с₂=>0, следовательно, (с₁,с₂,c_n)=C=>0. (E-A)C=E=>C=(E-A)^-1=>0

6. Докажите, что если неотрицательная квадратная матрица продуктивна, то ее число Фробениуса меньше 1

Матрица А≥0 называется продуктивной, если для любого вектора ≥0 существует решение ≥0 уравнения

Пусть матрица А – неотрицательна и продуктивна.

Тогда для любого неотрицательного вектора существует решение ≥0 уравнения

Пусть >0, тогда, очевидно, >0. Умножив слева еа левый вектор Фробениуса и учитывая, что

A=, то получим

>0, >0, то >0, >0. Поэтому из последнего равенства вытекает, что <1.