- •1. Теорема Фробениуса-Перрона. Определение числа и вектора Фробениуса неотрицательной матрицы.
- •3. Докажите следующее утверждение. Пусть s и s – минимальная и максимальная суммы элементов столбцов матрицы а. Тогда число Фробениуса λА матрицы а удовлетворяет неравенству s
- •5. Сформулируйте и докажите первый критерий продуктивности
- •6. Докажите, что если неотрицательная квадратная матрица продуктивна, то ее число Фробениуса меньше 1
- •7. Сформулируйте определение запаса продуктивности неотрицательной матрицы. Выведите формулу для вычисления запаса продуктивности через число Фробениуса.
- •9. Приведите примеры задач лп на минимум (задача о диете) и на максимум (задача об использовании ресурсов)
- •10. Приведите общую постановку злп. Дайте определения следующим терминам: целевая ф-ия, допустимое мн-во задачи, оптимальное решение, оптимальное мн-во.
- •26.Приведите пример двух взаимно двойственных задач лп. Сформулируйте правило построения двойственной задачи.
- •27. Сформулируйте и докажите основное неравенство для взаимно двойственных задач лп. Сформулируйте достаточный признак оптимальности.
- •28. Сформулируйте первую и вторую теоремы двойственности. Докажите вторую теорему двойственности (теорему равновесия)
- •29. Приведите пример постановки транспортной задачи. Что такое оптимальный план перевозок? Что такое транспортная задача с правильным балансом? Сформулируйте критерий разрешимости транспортной задачи.
- •30. Опишите методы построения начального опорного плана транспортной задачи (метод северо-западного угла, метод минимального тарифа.
- •38. Опишите модель Самуэльсона-Хикса. Какие экономические предположения лежат в ее основе? Запишите уравнение Хикса. В каком случае решением уравнения Хикса является стационарная последовательность?
- •39. Опишите паутинную модель рынка. Какие экономические предположения лежат в ее основе? Найдите равновесное состояние паутинной модели рынка.
7. Сформулируйте определение запаса продуктивности неотрицательной матрицы. Выведите формулу для вычисления запаса продуктивности через число Фробениуса.
Определение: Путь – продуктивная матрица. Запасом продуктивности матрицы назовем такое число >0, что все матрицы , где 1<<1+α, продуктивны, а матрица (1+α)A не продуктивна.
Пусть - запас продуктивности матрицы А и 1<<1+.Тогда
*А<1(условие продуктивности матрицы *А) и (1+)*А1(матрица
(1+α)*А непродуктивна).Если бы неравенство было строгим, то можно было
бы взять число <1+α так, что *А>1, что противоречит продуктивности
матрицы *А в силу второго критерия продуктивности.
Обратно, если верно равенство (1+)*А=1, то для числа 1<<1+ верно
A= *А<(1+α)*А=1 и (1+α)A=(1+α)*А=1, то есть матрица*А
продуктивна, а матрица не продуктивна.
Итак, (1+α)*А=1.Значит, α= -1
8. Запишите структурную таблицу межотраслевого баланса Леонтьева и уравнение модели равновесных цен для двухотраслевой экономики; укажите экономический смысл входящих в уравнение величин. Запишите формулу вычисления элементов матрицы Леонтьева через известные элементы структурной таблицы межотраслевого баланса.
Произв. Потребление |
Конечное потребление |
Валовой выпуск |
X11 X12 … X1n |
Y1 |
X1 |
X21 X22 … X2n |
Y2 |
X2 |
X=AX+Y (1)
Где A =
X = (x1,x2…xn)
Y = (y1,y2…yn) Вектор X называется вектором валового выпуска, вектор Y – вектором конечного
потребления, а матрица А – матрицей прямых затрат. Соотношение (1) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов X и Y это соотношение называют также моделью Леонтьева.
9. Приведите примеры задач лп на минимум (задача о диете) и на максимум (задача об использовании ресурсов)
Задача о диете: Пусть имеется 2 вида продуктов П1 и П2, содержащих питательные вещества А,В,С. В 1кг продуктов П1 и П2 содержится определенное количество вещества того или иного вида.
a,b,c- ежесуточное потребление А, В и С соответственно
s1,s2- стоимость П1 и П2 соответственно
Тогда целевая функция f=s1x1+s2x2-->min
Система ограничений:
Задача об использовании ресурсов: пусть R1, R2,R3 – наличные ресурсы
b1,b2,b3 – количество ресурсов R1,R2,R3 соответственно
Т1,Т2 – выпускаемые товары
aij- число единиц ресурса, необходимых для выпуска 1 единицы товара
с1,с2 – доход от продажи товаров Т1, Т2 соответственно
х1, х2 – количество товаров Т1 и Т2 соответственно
общее количество ресурса R1, используемого при выпуске обоих товаров, равное , не должно превосходить bi , т.е. должны выполняться неравенства , i=1,2,3
Тогда целевая функция f=c1x1+c2x2--->max система ограничений:
10. Приведите общую постановку злп. Дайте определения следующим терминам: целевая ф-ия, допустимое мн-во задачи, оптимальное решение, оптимальное мн-во.
Пусть S – система линейных ограничений с n переменными x1,x2,…xn, а f(x) – целевая ф-ия вида f(x) = c0+c1x1+c2x2+…+cnxn
Требуется решить задачу f(x) -> min (max) при условиях S.
Целевая функция – функция, экстремальное значение которой
ищется на допустимом множестве в задачах линейного
программирования.
Допустимое множество задачи – это множество, на котором
выполняются все ее ограничения. Оптимальное решение ЗЛП – значение искомых переменных удовлетворяющее условию
оптимальности.
Оптимальное множество – множество решений ЗЛП удовлетворяющих условию
оптимальности.
11. Что такое стандартная форма ЗЛП? Что такое каноническая форма ЗЛП? Приведите пример задачи, форма которой не является ни канонической, ни стандартной. Приведите эту задачу к канонической, затем к стандартной форме.
Стандартная форма ЗЛП (система S состоит только из неравенств, в число которых входят тривиальные ограничения):
F(x) = c1x1+c2x2+…+cnxn+c0 -> min (max)
X€Rn: xi0 , i=(1,2…n)
Каноническая форма ЗЛП (система S, помимо тривиальных ограничений, включает в себя только уравнения):
F(x) = c1x1+c2x2+…+cnxn+c0 -> min (max)
X€Rn: xi0 , i=(1,2…n)
Пример задачи, не явл. Ни канонич., ни станд.:
F(x) = 4x1+2x2-13x3+2x4-x5 -> max xi, i=1…5
12-17. Примеры задач ЛП.
18-25. Примеры симплекс-таблиц.