- •1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла.
- •2. Теорема существования определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.
- •3. Теорема о связи определенного и неопределенного интегралов. Формула Ньютона-Лейбница.
- •4. Замена переменной в ои.
- •5. Интегрирование по частям в ои.
- •6. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку интегрирования
- •7. Несобственные интегралы от ф-й, терпящих бесконечный разрыв
- •8. Применение определенных интегралов для выч. Площадей
- •9. Применение определенного интеграла для выч. Длин дуг
- •10. Применение определенного интеграла для выч. Объемов тел
- •11. Задачи приводящие к дифферинциальным уравнениям. Основныепонятия о дифференциальных уравнениях.
- •12. Дифференциальные уравнения первого порядка. Поле направлений. Изоклины. Задача Коши. Теорема Коши.
- •13. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •14. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли. Общая схема решения дифференциальных уравнений первого порядка.
- •15. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
- •16.Линейные диф.Уравнения высших порядков. Теорема сущ.И единственности. Свойства решений.
- •17.Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.
- •18. Линейные однородные диф уравнения 2 порядка с постоянным коэффициентом
- •19. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения
- •20. Нахождение частного решения для линейного диф уравнения 2 порядка с постоянным коэф и спец правой частью
- •24. Знакоположительные ряды. Первый и второй достаточный признаки сходимости рядов
- •25. Знакоположительные ряды. Признак Даламбера и интегральный признак Коши
- •26.Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница.Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
- •27.Знакопеременные ряды. Достаточный признак сходимости. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
- •28.Функциональные ряды. Область сходимости ряда, достаточный признак сходимости.
- •29.Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда
- •31. Ряд Тейлора.
- •32. Разложение основных эл-ных ф-й в ряд Тейлора.
- •33. Применение рядов к приближенным выч.М и решению дифференциальных уравнений.
- •34.Задачи приводящие к понятию двойного интеграла. Двойной интеграл и его выч..
- •35. Тройной интеграл и его выч..
- •36.Криволинейные интегралы первого и второго рода и их выч.
- •37. Основные понятия и определения теории вероятностей. Классическое определение вероятности.
- •38. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей.
- •39. Произведение событий. Теорема умножения вероятностей.
- •40. Формула полной вероятности.
- •41. Схема Бернулли. Формула Бернулли.
- •42. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Формула Пуассона.
- •43. Дискретные случайные величины.
- •44. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •45.Непрерывные случайные величины. Интегральная и дифференциальная ф-и распределения.
- •46.Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
- •48. Нормальный з-н распределения.
- •49.Основные понятия математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный и интервальный статистические ряды. Полигон. Гистограмма. Эмпирическая ф-я распределения.
- •50.Точечные оценки параметров распределения. Их свойства и выч..
- •51. Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал для математического ожидания нормального з-на распределения при известном .
- •52.Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал для математического ожидания нормального з-на распределения при неизвестном .
- •53. Элементы корреляционного анализа. Двумерная случайная величина. Функциональная и корреляционная зависимость
33. Применение рядов к приближенным выч.М и решению дифференциальных уравнений.
-
Вычисл. знач. ф-ции с помощью рядов.
Пусть нужно вычислить знач. ф-ции y=f(x) в некот. обл-ти заданной точки.
Для этого ф-цию раскладывают в ряд Тэйлора. Получ. ряд сходимости (а-R;а+R) и т. Х0 должна принадлеж этому интервалу. После чего ф-цию f(x) заменяем многочленом f(x)Sn(x), a f(x0) Sn(x0).
-
В случае неберущ. интеграла подинтегральная ф-ция разлож. в ряд. Тэйлора интегрир. ряд и получ. числовой ряд, равный значению интеграла.
34.Задачи приводящие к понятию двойного интеграла. Двойной интеграл и его выч..
Цилиндрическое тело – тело огранич. поверхностями: цилиндром с образующим направлением одной из кардинатных осей, снизу z=0.
На плоскости хоу тело проецируется в область δ, чтобы вычислить объем: область δ разобьем на N эл-ных областей: δ1, δ2, δn с S соотв. ∆δ1, ∆δ2, ∆δn
Под кажд. из эл-. обл-тей построим эл-. огранич. сверху пов-сть z=f(x,y). Если эл- обл-ти достаточно малы, то объем цилиндрич. тела объему эл-. цилиндр. с высотами = знач. ф-ии z=f(x,y) в произвольной точке эл-. обл-ти.
Двойным интегралом от ф-и f(x,y) по ограниченной замкнутой области D наз. предел интегральной суммы, построенной для ф-и f(x,y) при неограниченном увеличении числа разбиений области D на ячейки (n→∞) и при стягивание каждой ячейки в точку , если такой предел сущ. и не зависит от способа разбиения области D на ячейки, ни от выбора в каждой из них.
Теорема существования: Для всякой непрерывной ф-и f(x,y) в ограниченной замкнутой области D сущ. двойной интеграл:
Свойства двойного интеграла:
3)Если область D разбить линией на две области D1 и D2 такие, что , а пересечение D1 и D2 состоит лишь из линии, их разделяющей, то :
4) Если в области D имеет место неравенство , то и . Если в области D ф-и f(x,y) и удовлетворяют неравенству, то и
6) Если ф-я f(x,y) непрерывна в замкнутой области D , площадь которой S, то , где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной ф-и в области D.
7) Если ф-я непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области сущ. такая точка (x0,y0), что . Величину называют средним значением ф-и f(x,y)в области D
35. Тройной интеграл и его выч..
Определение:
Пусть задана область VXOYZ, ограниченная замкнутой поверхностью; в области V и на ее границе задана ф-я f (x,y,z).
|
Тройным интегралом от ф-и f(x, y, z) по области V называется конечный предел трехмерной интегральной суммы при стремлении к нулю ранга разбиения, порождающего эту сумму (если этот предел сущ. и не зависит ни от способа разбиения области V на эл-ные части, ни от выбора точек на каждой из этих эл-ных частей):
здесь n – это количество эл-ных частей разбиения области V; Pi (xi,yi,zi) – произвольно выбранная точка на каждой эл-ной части,
i = 1,...,n;
— ранг разбиения; – диаметр i-ой эл-ной части.
Выч. ТИ сводится к последовательному вычислению трёх опред. интегралов.Например, в декартов сист. координат и пусть тело/область v обладает след. св-вами:
-
Проектируется на плоскость XOYв нек. Обл-и D.
-
Любая прямая, пронизыающая данную обл-ть, пересекает её поверхность не более,чем в 2-х точках.
Тогда:
=.где D-поверхность
Тройной интеграл в декартовых координатах |
Пусть в трехмерной области V пространства OXY задана ф-я . Разобьем произвольным образом область V на эл-ные подобласти , в каждой подобласти зафиксируем произвольную точку () и составим трехмерную интегральную сумму . Тройным интегралом от ф-и по ограниченной области V называется предел последовательности соответствующих интегральных сумм при стремлении к нулю наибольшего из диаметров эл-ных областей , если этот предел не зависит ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек : . Выч. тройного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла и одного однократного либо к вычислению трех повторных интегралов. Если область V ограничена сверху поверхностью , снизу поверхностью , с боков – прямым цилиндром, вырезающим на плоскости OXY область D, то . |
С помощью тройного интеграла объем тела, изображенного на рис. 9, вычисляют по формуле:
.